L’Hospital-szabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben L’Hospital-szabálynak (ejtsd: [lopitál]) nevezik (Guillaume de l'Hôpital francia matematikus nyomán) a határérték-számítás egyik módszerét. Segítségével és a differenciálszámítás felhasználásával sok esetben kiszámítható a határérték akkor is, ha a függvényműveletek kritikus alakú határértékhez (például , stb.) vezetnek, azaz ha egyszerű határérték-számítási szabályok nem adnak eredményt.

Ilyen esetekben a L’Hospital-szabály szerint érdemes a függvényt hányadosként felírni, és ha mind a számláló, mind a nevező differenciálható, továbbá a deriváltak hányadosának van határértéke a vizsgált helyen véve, akkor ezzel a határértékkel megegyezik a keresett határérték.

A szabály alapgondolata[szerkesztés]

Egy algebrai tört határértékproblémája esetén, például a

határérték esetén a kritikus alak eltűnik, ha az (x-1) polinomot kiemeljük a számlálóból is és a nevezőből is (hiszen mindegyiknek gyöke az 1 szám). Ekkor behelyettesítéssel már kiszámíthatóvá válik a határérték:

Bonyolultabb függvényeknél, hasonló esetben, például a

határértéknél a fenti módon nem tudjuk megszüntetni a 0-val való osztást. Hogy mód nyíljon valamiféle egyszerűsítésre esetünkben is, írjuk fel a függvényeket hatványsor alakban, azaz Taylor-sor formájában, így hasonlatosakká válnak a polinomokhoz.

Rögzített x szám esetén a sorok összegének homogén tulajdonsága folytán kiemeltük x-et, majd a törtet egyszerűsítettük. Ekkor a határértékképzés és az összegzés felcserélhetősége miatt adódik, hogy:

Tekintve, hogy a sor konstans tagja tűnt el és az elsőfokú tag együtthatója jelent meg konstansként, a hányados határértéke a deriváltak határértéke lett (hiszen a Taylor-sor elsőfokú tagjának együtthatója nem más, mint a függvény adott pontbeli deriváltja).

Az egyszerű L’Hospital-szabály[szerkesztés]

Nem kell feltennünk, hogy a függvény (mint az előző példában is) analitikus legyen. Elegendő a differenciálhatóság megkövetelése.

TételEgyszerű L’Hospital-szabály – Legyen f és g olyan valós-valós függvény és u olyan pont, hogy f és g differenciálható u-ban, de g'(u) nem 0 és legyen u torlódási pontja az f/g függvény értelmezési tartományának. Ha f(u) = g(u) = 0, akkor f/g-nek létezik határértéke u-ban és

Bizonyítás. Mind f, mind g a differenciálhatóság definíciója alapján felírható az u pont körül a következő alakban:

ahol ε és η az u pontban folytonos és ott eltűnő függvények. Tetszőleges x pontra az f/g értelmezési tartományából felírható a következő hányados:

hiszen f(u) = g(u) =0 és x-u-val egyszerűsíthetünk. Ekkor az ε és η u-beli 0 határértékei folytán:

Ismételt „L’Hospitálás”[szerkesztés]

Előfordulhat, hogy u-ban a deriváltak is nullával egyenlők. Ekkor a L’Hospital-szabályt újból kell alkalmaznunk. Ha például f és g n+1-szer differenciálható u-ban, de egészen az n-edik deriváltig az összes magasabbrendű derivált 0, akkor (a szabály feltételeinek teljesülése esetén):

Erős L’Hospital-szabály[szerkesztés]

TételErős L’Hospital-szabály – Ha nyílt intervallum, u az torlódási pontja, az f és g függvények \ {u}-n értelmezett n+1-szer differenciálható függvények, g(n+1) nem veszi föl a 0 értéket és minden k = 0,…,n számra limuf (k) = limug(k) = 0, továbbá létezik a , akkor létezik az alábbi határérték és a következővel egyenlő: