Hiperdetermináns

A hiperdetermináns az algebrában a determináns általánosítása. Míg a determináns skalár értékű függvény a négyzetes mátrixokon, addig a hiperdetermináns magasabb dimenziós számtömbön vagy tenzoron van definiálva. Ahogy a determináns, úgy a hiperdetermináns is egész együtthatós polinom a tenzor komponensein. A determináns több más tulajdonsága is átvihető a hiperdeterminánsra, de a determinánstól eltérően a hiperdeterminánsnak nincs egyszerű geometriai jelentése.

A hiperdeterminánsra legalább három definíció létezik. Az elsőt Cayley adta 1843-ban. Rendszerint det₀ jelöli. A második Cayley-hiperdetermináns 1845-ből származik, és Det jelöli. Ennek a definíciója egy szinguláris pont diszkriminánsa egy skalár értékű multilineáris leképezésben.

Cayley első hiperdeterminánsát csak a páros dimenziójú hiperkockákhoz definiálta. Cayley második hiperdeterminánsa korlátozott formájú tömbökre létezik, köztük hiperkockákra. A harmadik hiperdeterminánst Glynn definiálta a p karakterisztikájú testek fölött. Jelölése det_p, és az adott test fölötti összes hiperkockára értelmezhető.

Csak az első és a harmadik hiperdetermináns multiplikatív. A második csak határesetekben az. Az első és a harmadik felírhatók polinomként, így fokszámuk is ismert, míg a másodiknak nincs ilyen alakja, és fokszáma nem ismerhető.

A determináns jelölése egyértelműen kiterjeszthető a hiperdeterminánsokra. Így az A hipermátrix hiperdeterminánsa is jelölhető, mint |A| vagy det(A).

Cayley második hiperdeterminánsát egyebek mellett Gel'fand, Kapranov és Zelevinsky tárgyalja "Discriminants, Resultants and Multidimensional Determinants" című könyvében. Mi a továbbiakban az ő jelöléseiket követjük.

Cayley második hiperdeterminánsa

A 2×2×2-es hipermátrix hiperdeterminánsa Cayley-hiperdeterminásként ismert. Ha A hipermátrix, és komponensei a_ijk-k, továbbá i,j,k = 0 or 1, akkor:

Det(A) = a₀₀₀²a₁₁₁² + a₀₀₁²a₁₁₀² + a₀₁₀²a₁₀₁² + a₁₀₀²a₀₁₁²

− 2a₀₀₀a₀₀₁a₁₁₀a₁₁₁ − 2a₀₀₀a₀₁₀a₁₀₁a₁₁₁ − 2a₀₀₀a₀₁₁a₁₀₀a₁₁₁ − 2a₀₀₁a₀₁₀a₁₀₁a₁₁₀ − 2a₀₀₁a₀₁₁a₁₁₀a₁₀₀ − 2a₀₁₀a₀₁₁a₁₀₁a₁₀₀ + 4a₀₀₀a₀₁₁a₁₀₁a₁₁₀ + 4a₀₀₁a₀₁₀a₁₀₀a₁₁₁

Ez a kifejezés diszkrimináns abban az értelemben, hogy akkor és csak akkor válik nullává, ha van nem nulla megoldása az xⁱ, yⁱ, zⁱ hat ismeretlenes egyenletrendszernek:

a₀₀₀x⁰y⁰ + a₀₁₀x⁰y¹ + a₁₀₀x¹y⁰ + a₁₁₀x¹y¹ = 0

a₀₀₁x⁰y⁰ + a₀₁₁x⁰y¹ + a₁₀₁x¹y⁰ + a₁₁₁x¹y¹ = 0

a₀₀₀x⁰z⁰ + a₀₀₁x⁰z¹ + a₁₀₀x¹z⁰ + a₁₀₁x¹z¹ = 0

a₀₁₀x⁰z⁰ + a₀₁₁x⁰z¹ + a₁₁₀x¹z⁰ + a₁₁₁x¹z¹ = 0

a₀₀₀y⁰z⁰ + a₀₀₁y⁰z¹ + a₀₁₀y¹z⁰ + a₀₁₁y¹z¹ = 0

a₁₀₀y⁰z⁰ + a₁₀₁y⁰z¹ + a₁₁₀y¹z⁰ + a₁₁₁y¹z¹ = 0

Az indexek fölötti összegzés az Einstein-féle összegkonvencióval és a Levi-Civita-szimbólummal egyszerűbben is írható, ami egy alternáló tenzorsűrűség az ε^ij komponensekkel, ahol ε⁰⁰ = ε¹¹ = 0, ε⁰¹ = −ε¹⁰ = 1.

b_kn = (1/2)ε^ilε^jma_ijka_lmn

Det(A) = (1/2)ε^ilε^jmb_ijb_lm

Ugyanezzel a konvencióval definiálhatjuk a multilineáris alakot:

f(x,y,z) = a_ijkxⁱy^jz^k

Ekkor a hiperdetermináns akkor és csak akkor nulla, ha van egy nem triviális pont, ahol f összes parciális deriváltja eltűnik.

Tenzor kifejezésként

A fenti determináns a Levi-Civita szimbólum általánosításával:

$Det(A)=f^{ijkl}f^{nmop}f^{qrst}a_{inq}a_{jmr}a_{kos}a_{lpt}$

ahol f a Levi-Civita szimbólum általánosítása, ami megengedi, hogy két index egyenlő legyen:

$f^{0011}=f^{1100}=f^{0110}=f^{1001}=-1/2$

$f^{0101}=f^{1010}=1$

ahol f olyan,. hogy:

$f^{...abc....}+f^{...bca...}+f^{...cab...}+f^{...cba....}+f^{...acb...}+f^{...bac...}=0$

Diszkriminánsként

Szimmetrikus 2x2x2x.. hipermátrix esetén a hiperdetermináns egy polinom diszkriminánsa. Például:

$a_{000}=a$

$a_{001}=a_{010}=a_{100}=b$

$a_{110}=a_{101}=a_{011}=c$

$a_{111}=d$

Ekkor Det(A) az $ax^{3}+3bx^{2}+3cx+d$ diszkriminánsa.

Más általánosítások

Általános esetben a hiperdetermináns definiálható, mint egy f multilineáris leképezés a V_i véges dimenziós vektorterekből az ő K alaptestükbe, ami lehet $\mathbb {R}$ vagy $\mathbb {C}$.

$f:V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{r}\to K$

f azonosítható tenzorként a V^*_i duális terek tenzori szorzatában:

$f\in V_{1}^{*}\otimes V_{2}^{*}\otimes \cdots \otimes V_{r}^{*}$

Definíció szerint Det(f) polinom az f tenzor komponenseiben, ami akkor és csak akkor nulla, ha f-nek van nem triviális pontja, ahol az összes vektor argumentumok szerint parciális deriváltja nulla. Ami azt jelenti, hogy ebben a pontban egy vektor argumentum sem nulla.

A V_i vektortereknek nem kell ugyanolyan dimenziójúaknak lenniük. A hiperdetermináns (k₁, ..., k_r) k_i > 0, alakú, ha a V_i terek dimenziója k_i + 1. Megmutatható, hogy ha létezik az adott alakhoz hiperdetermináns, és skálázási faktor erejéig egyértelmű, akkor és csak akkor, ha az adott alakban a legnagyobb szám legfeljebb akkora, mint a többi szám összege az adott alakban.

Ez a definíció nem ad kiszámítási módot a hiperdeterminánsra, és többnyire ez nehéz feladat. Azok a hiperdeterminánsok, amikben r ≥ 4, a termek számai rendszerint túl nagyok ahhoz, hogy teljesen kiírjuk a hiperdeterminánst. Magasabb r-re a polinom foka gyorsan nő, és nincs ismert, kényelmesen számítható képlet.

Példák

Az r = 1 típusú alakok a vektorok hosszát jelentik, ahol k₁ + 1. Ekkor nincsenek további dimenziók, az üres összeg nulla, emiatt ekkor nincs hiperdetermináns.

Az r = 2 esetben (k₁ + 1)×(k₂ + 1) méretű mátrixokról van szó. Itt a többi dimenzió a másik dimenziót jelenti. Egyik sem lehet kisebb a másiknál, így egyenlőeknek kell lenniük, a mátrix négyzetes. A négyzetes mátrixok hiperdeterminánsa m,egegyezik a hiperdeterminánssal. Diszkriminánsként alkalmazva, ha S négyzetes mátrix, és det(S) nulla, akkor vannak X és Y vektorok, hogy az SX = 0 és YS = 0 egyenleteknek van nem triviális X és Y megoldása.

Az r > 2 esetekben az alakokra vonatkozó egyenlőtlenséget több alak is kielégíti. Így például van 2×2×2-es hiperdetermináns (1,1,1) alakkal, és 2×2×3 hiperdetermináns, aminek alakja (1, 1, 2). Ezzel szemben a 2×2x4-es alakú hiperdetermináns nem létezik, mert alakja (1, 1, 3), és 3 > 1 +  1.

Fokszám

Mivel a hiperdetermináns változóiban homogén, azért az alak függvényében jóldefiniált foka van, amit N(k₁, ..., k_r) jelöl. Speciális esetekre kifejezhető képlettel. Például a hiperdetermináns határformájú, ha a legnagyobb alakszám egyenlő a többi összegével, ekkor

$N(k_{2}+\cdots +k_{r},k_{2},\ldots ,k_{r})={\frac {(k_{2}+\cdots +k_{r}+1)!}{k_{2}!\cdots k_{r}!}}.$

A 2^r dimenziós hiperdeterminánsok számára egy kényelmes generátorformula az N_r fokszámokra:

$\sum _{r=0}^{\infty }N_{r}{\frac {z^{r}}{r!}}={\frac {e^{-2z}}{(1-z)^{2}}}.$

Speciálisan, r = 2,3,4,5,6 esetén a fokok rendre 2,4,24,128,880, és nagyon gyorsan nőnek.

További speciális számítások a hiperdetermináns fokára:

2 × m × m esetén N(1,m − 1,m − 1) = 2m(m − 1)

3 × m × m esetén N(2,m − 1,m − 1) = 3m(m − 1)²

4 × m × m esetén N(3,m − 1,m − 1) = (2/3)m(m − 1)(m − 2)(5m − 3)

Az általános eredmény ahiperdetermináns szorzatszabályt követi és a később következő általános szabályok azoknak a vektorterek dimenzióinak legkisebb közös többszöröse, ahol a lineáris leképezés hat, osztója a hiperdetermináns fokának:

lkkt(k₁ + 1,...,k_r + 1) | N(k₁, ... , k_r).

Tulajdonságok

A hiperdeterminánsok a determináns több tulajdonságát is általánosítják.

Multiplikatív tulajdonságok

A legismertebb tulajdonság az összeszorzódás, amit a Binet-Cauchy-formula fogalmaz meg. Ha A és B n × n-es mátrixok, akkor

det(AB) = det(A) det(B)

Ezt viszonylag nehéz általánosítani, mivel a hipermátrixokra általánosított szorzás különböző méretű hipermátrixokat adhat. Kutatás tárgya, hogy melyek az összes esetek, amelyekre a szorzószabály általánosítható. A következő speciális esetek azonban teljesülnek.

Adott f(x₁, ..., x_r) multilineáris forma esetén az utolsó argumentumra alkalmazunk lineáris transzformációt, aminek n × n-es mátrixa B, y_r = B x_r. Ekkor kapunk egy ugyanilyen alakú multilineáris formát:

g(x₁,...,x_r) = f(x₁,...,y_r)

Az így definiált szorzat a g = f.B szorzat. Ebben az esetben a hiperdetermináns definíciójának felhasználásával

det(f.B) = det(f) det(B)^N/n

ahol n a hiperdetermináns foka.

További képleteket bizonyítottak a határformákra.

Invariáns tulajdonságok

A determinánst nem tekintik algebrai invariánsnak, de amikor hiperdeterminánssá általánosítjuk, ez az invariancia feltűnőbb. Ha H hipermátrix, és S H-val összeszorozható mátrix, aminek determinánsa egy, akkor

det(H.S) = det(H)

Más szóval a hiperdetermináns algebrai invariáns az SL(n) hatására a hipermátrixon. A transzformáció hathat bármely vektortérre, ahol a multilineáris leképezés hat. Ez egy másik invariánst ad, és egy általánosabb eredményhez vezet.

Az $(k_{1},\ldots ,k_{r})$ alakú hiperdetermináns invariáns az $SL(k_{1}+1)\otimes \cdots \otimes SL(k_{r}+1)$

csoport hatásaira.

Például egy n × n-es mátrix determinánsa SL(n)²-invariáns és a 2×2×2-es Cayley-hiperdetermináns SL(2)³-invariáns.

A determináns egy másik ismert tulajdonsága, hogy ha egy sor (vagy oszlop) skalárszorosát hozzáadjuk egy másik sorhoz(vagy oszlophoz), akkor a determináns változatlan marad. Itt a sor és az oszlop nem keverhető, sor többszöröse sorhoz, oszlop többszöröse oszlophoz adható. Ez egy olyan mátrixszal végzett lineáris transzformáció, ahol a mátrixnak a csupa egyes főátlóján kívül csak egy nem nulla eleme van. Ez átvihető a hipermátrix párhuzamos szeleteire.

A hiperdetermináns nem az egyetlen algebrai polinomiális invariánsa annak a csoportnak, ami a hipermátrixokon hat. Például hiperdeterminánsok összeadásával és szorzásával újabb invariánsok kaphatók. Általában az invariánsok gyűrűt alkotnak, és a Hilbert-bázistétel miatt ez a gyűrű végesen generált. Más szavakkal, egy adott alakú hipermátrixhoz minden egész együtthatós algebrai polinomiális invariáns megkapható összeadással, kivonással és szorzással. Egy 2×2×2-es hipermátrix esetén minden ilyen invariáns megkapható egyedül a Cayley-hiperdeterminánsból, de ez más alakokra nem feltétlenül teljesül. Például egy 2×2×2×2 alakú hiperdetermináns második hiperdeterminánsa 24 fokú, de vannak alacsonyabb fokú invariánsok is. A gyűrű generálható négy, legfeljebb hatodfokú invariánssal.

Története és alkalmazásai

Arthur Cayley 1845-ben írta le a második hiperdeterminánst, és meghatározta, hogyan számítható ki a 2×2×2-es alak esetén. Később azonban az összes algebrai invariánsra kiterjesztette a jelentést, ezt a fogalmaz pedig elhagyta a kvantika kedvéért, ami a polinomiális alakok általános elmélete. A következő 140 évben keveset foglalkoztak vele, és csak az 1980-as években fedezte fel újra Gel'fand, Kapranov és Zelevinsky, amikor az általánosított hipergeometrikus függvényeket vizsgálták. Ezután könyvet írtak, amiben a hiperdetermináns diszkriminánsként vezették be.

Az első Cayley-hiperdetermináns alapvetőbb, mivel a közönséges determináns általánosítása. Megjelenik az Alon-Tarsi-sejtésben.

A hiperdeterminánsok további alkalmazásai megtalálhatók az algebrai geometriában, a számelméletben, a kvantumszámítógépek elméletében és a húrelméletben.

Az algebrai geometriában a második hiperdetermináns az X-diszkrimináns speciális esete. Egy alapvető eredmény, hogy a hiperdeterminánsok Newton-politópjainak csúcsai és a kocka szimplexekre tagolásai megfeleltethetők egymásnak.

A kvantumszámítógépek elméletében a 2^N alakú hipermátrixok invariánsait az N qubites egységekkel való foglalkozáskor használják.

A húrelméletben a hiperdetermináns elsőként felszínül a húrdualitásokkal és a fekete lyuk entrópiával kapcsolatban.

Források

• (1849. április 15.) „On the theory of determinants”. Trans. Cambridge Phil Soc. VIII, 1–16. o.  
• (1845. április 15.) „On the Theory of Linear Transformations”. Cambridge Math. J. 4, 193–209. o.  
• (1998. április 15.) „The modular counterparts of Cayley's hyperdeterminants”. Bulletin of the Australian Mathematical Society 57 (3), 479. o. DOI:10.1017/s0004972700031890.  
• Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Boston: Birkhäuser (1994. április 15.). ISBN 9780817636609 
• Dionisi, Carla; Ottaviani, Giorgio. "The Binet-Cauchy Theorem for the Hyperdeterminant of boundary format multidimensional Matrices". arXiv:math/0104281.
• Luque, J-G.; Thibon, J-Y. "The polynomial Invariants of Four Qubits". arXiv:quant-ph/0212069.
• Arthur Cayley : mathematician laureate of the Victorian age. Baltimore, Maryland: Johns Hopkins University (2006. április 15.). ISBN 9780801880117 
• Miyake, A. "Classification of multipartite entangled states by multidimensional determinants". arXiv:quant-ph/0206111.
• Duff, M. "String triality, black hole entropy and Cayley's hyperdeterminant". arXiv:hep-th/0601134.
• (1997. július 1.) „The Cayley Determinant of the Determinant Tensor and the Alon–Tarsi Conjecture”. Advances in Applied Mathematics 19 (1), 31–44. o. DOI:10.1006/aama.1996.0522.  
• (2010. január 1.) „The Conjectures of Alon–Tarsi and Rota in Dimension Prime Minus One”. SIAM Journal on Discrete Mathematics 24 (2), 394–399. o. DOI:10.1137/090773751.  

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Hyperdeterminant című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.