Hausdorff-dimenzió

A Hausdorff-dimenzió vagy Hausdorff–Besicovitch-dimenzió a fraktáloknál használt dimenziófogalom, a hagyományos (Bolzano/Uriszon-féle), pozitív egész számokkal (1,2,3,...) mérhető dimenziófogalom általánosítása. A Hausdorff-féle dimenzió nem feltétlenül egész szám (általában irracionális).

A Hausdorff-dimenzió bevezetését az indokolja, hogy bizonyos alakzatok (a legismertebb példa a fraktálok sokasága), bár „topológiai” dimenziójuk egyszerűen mérhető, de dimenzióbeli mértékük (terület, térfogat, ...) mégis paradox értékeket ad. Például a Peano-görbe egy intuitíve egydimenziós görbe, amely azonban teljesen, egyszeresen és hézagtalanul lefed egy négyzetet (tehát bizonyos szempontból inkább kettő-, mintsem egydimenziós); a Sierpiński-szőnyeg viszont lefed - igaz, közel sem hézagtalanul - egy négyzetet, ellenben a területe 0, akárcsak az egydimenziós alakzatoké.

A Hausdorff-dimenzió meglehetősen egyszerű tapasztalaton alapul. Egy közönséges kétdimenziós alakzatot, mint pl. egy négyzetet, ha kétszeresére, háromszorosára ..., $k$-szorosára nagyítunk, akkor az így keletkezett nagyobb alakzatot az eredeti alakzat négy, kilenc, ..., $k^{2}$ példányával fedhetjük le teljes egészében, vagyis a terület a nagyításnak a dimenzióra (2) emelt kitevőjű hatványszorosára nő (nehezebben mérhető területű, de területtel azért rendelkező alakzatoknál hasonló a helyzet). Egy egyszerű háromdimenziós alakzatot, mondjuk kockát, ha kétszeresére, háromszorosára, ..., $k$-szorosára nagyítunk, akkor az így keletkezett nagyobb alakzatot az eredeti alakzat nyolc, huszonhét, ..., $k^{3}$ példányával fedhetjük le teljes egészében, vagyis a térfogat a nagyításnak a dimenzióra (3) emelt kitevőjű hatványszorosára nő (nehezebben mérhető térfogatú, de térfogattal azért rendelkező alakzatoknál is hasonlóképp van). Általában elmondható, hogy egy közönségesen $d$ dimenziós alakzatot ha $k$-szorosára nagyítunk, akkor mértéke $T(k)=k^{d}$-szeresére nő, tehát az alakzat dimenziója a $T(k)$ $k$ alappal felírt hatványának kitevője, vagyis $\log _{k}(T(k))$, melyre érvényes – tetszőleges egytől különböző pozitív valós alapú – logaritmust (pl. a tízest) választva:

$d=\log _{k}\left(T(k)\right)={\frac {\log \left(T(k)\right)}{\log \left(k\right)}}$

Nehezebben mérhető alakzatok esetében bonyolultabb gondolatmenet szükséges, de a végeredmény ugyanez. A fenti $d$ Hausdorff-dimenzió finomabban méri egy alakzat kiterjedését, mint a topológiai dimenzió és a Lebesgue-mértékek.

A fogalmat Felix Hausdorff német matematikus vezette be 1918-ban, kiszámításának egyes technikáit pedig Abram Samoilovitch Besicovitch dolgozta ki.

Definíció

Legyen A a vizsgált halmaz, és legyen $\{B_{1},B_{2},\ldots \}$ gömbök egy olyan sorozata, amik együttesen lefedik A-t. Ha a gömbök sugara rendre $r_{1},r_{2},\ldots$, akkor a lefedőrendszer d rendű Hausdorff-mértéke $\sum _{i}r_{i}^{d}$, magának A-nak a d rendű Hausdorff-mértéke pedig a lehetséges lefedőrendszerek d rendű Hausdorff-mértékeinek infimuma.

A Hausdorff-dimenziója azon d-k infimuma, amelyekre a d rendű Hausdorff-mérték nulla (vagy másképp, azon d-k szuprémuma, amelyekre végtelen).

Egyszerű eset

Sierpinski-háromszög

A legismertebb fraktálok önhasonlóak: olyan részekből állnak össze, amelyek mindegyike nagyítással az egészbe vihető. Például a képen látható Sierpiński-háromszöget (amely úgy áll elő, hogy egy szabályos háromszögből kivesszük az oldalfelező pontok által meghatározott belső háromszöget, majd az így nyert háromszögekből is, és így tovább a végtelenségig) három kisebb háromszög alkotja, amelyek mindegyike feleakkora, mint az eredeti. Belátható, hogy ha egy fraktál k olyan alkotóelemből áll össze, amelyek mindegyikének r-szerese az eredeti, akkor a Hausdorff-dimenziója $\log k/\log r$. A Sierpinski-háromszögnek így $\log 3/\log 2\approx 1{,}58$ a Hausdorff-dimenziója. (Általánosabban, ha az egyes alkotóelemek $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{i}$ arányban kisebbek az egésznél, akkor a Hausdorff-dimenzió az az s szám, amelyre $\sum _{i}r_{i}^{s}=1$ teljesül.)

Példák

• az n dimenziós euklideszi tér és az n dimenziós hipergömb Hausdorff-dimenziója n.
• megszámlálható ponthalmazok Hausdorff-dimenziója 0.
• a Cantor-halmaz Hausdorff-dimenziója $\ln 2/\ln 3\approx 0{,}63$
• a Sierpiński-szőnyeg Hausdorff-dimenziója $\ln 8/\ln 3\approx 1{,}89$
• a Menger-szivacs Hausdorff-dimenziója $\ln 20/\ln 3\approx 2{,}73$
• a Koch-hópehely Hausdorff-dimenziója $\ln 4/\ln 3\approx 1{,}26$
• térkitöltő görbék (pl. a Peano-görbe vagy a Sierpinski-görbe) Hausdorff-dimenziója megegyezik annak az alakzatnak a dimenziójával, amit kitöltenek.
• a (legalább kétdimenziós) Brown-mozgás pályájának Hausdorff-dimenziója majdnem biztosan 2.

További információk

• P. W. Thompson: What is Required to Understand Fractal Dimension? („Mi szükséges a fraktáldimenzió megértéséhez?”). TMEO, 11./1 (2000); beill. 2010. 09. 19.