Sierpiński-szőnyeg

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Sierpinski carpet 6.png

A Sierpiński-szőnyeg egy Wacław Sierpiński lengyel matematikus által megtalált fraktál, amely úgy áll elő, hogy egy négyzetet oldalai harmadolásával kilenc kisebb négyzetre bontunk, a középsőt elhagyjuk, és a maradék nyolcon elvégezzük ugyanezt az eljárást (vagyis azoknak is elhagyjuk a közepét), majd az így maradt 8×8 kisebb négyzeten is, stb. Az eredményül kapott alakzat területe (Lebesgue-mértéke) nulla, kerülete végtelen nagy. Hausdorff-dimenziója log 8/log 3 ≈ 1,8928.

A Sierpiński-szőnyeg a Cantor-halmaz egyik lehetséges kiterjesztése a síkra (a másik a Cantor-por). Ugyanez az eljárás elvégezhető bármilyen más parkettázásra alkalmas síkidommal is, így nyerhető például szabályos háromszögből a Sierpiński-háromszög. A szőnyeg térbeli megfelelője a Menger-szivacs.

Zárt halmazok metszeteként zárt, és mivel befoglalható a kiindulási négyzetbe, ezért korlátos halmaz. Ezért a Heine–Borel-tétel miatt kompakt. Ezen kívül nem megszámlálható, és önhasonló struktúrája van.

Definíciója[szerkesztés]

A Sierpiński-szőnyeg formálisan így definiálható:

ahol S0 az egységnégyzetet jelöli, és:

Konstrukciója[szerkesztés]

  1. Vegyünk egy négyzetet
  2. Osszuk fel minden oldalát három részre
  3. A kijelölt pontokat összekötve osszuk fel a négyzetet kilenc kis négyzetre
  4. Töröljük el a középső négyzetet
  5. Ismételjük az előző lépéseket minden kis négyzetre.

Ezzel az eljárással a négyzet egyre inkább kiürül. Végtelenszer megismételve a Sierpiński-szőnyeg marad.

Az n-edik iterációban általánosságban kis négyzet marad. A Sierpiński-szőnyeg felépíthető nyolc olyan Sierpiński-szőnyegből, amiknek oldalhossza a nagy Sierpiński-szőnyeg oldalának harmada. Innen a Hausdorff-dimenzió: log 8/log 3 ≈ 1,8928.

A Sierpiński-szőnyeg területe egyszerűen számítható abból, hogy mindig csak az eredeti nyolc kilencede marad:

A Sierpiński-szőnyeg kerülete a konstrukció alapján:

Forrás[szerkesztés]

Sierpiński-szőnyeg, Menger-szivacs