Gauss-féle második alapmennyiség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A differenciálgeometriában a Gauss-féle második alapmennyiség egy háromdimenziós euklideszi térben lévő sima felület érintő síkján vett kvadratikus alak, amelyet általában római kettes számmal jelölünk: . A Gauss-féle első alapmennyiséggel együtt arra szolgál, hogy meghatározza a felület külső invariánsait, annak fő görbületeit. Általánosabban, egy ilyen kvadratikus alak definiálva van sima hiperfelületekre egy Riemann-sokaságban és azokhoz megfelelően választott egység hosszú normálvektorokra minden pontban.

Egy általános paraméteres felület Gauss-féle második alapmennyiségei a következőképpen vannak definiálva. Legyen r = r(u,v) egy természetes paramétereséze egy R3-beli felületnek, ahol r egy sima, kétváltozós, vektor értékű függvény. Szokás r parciális deriváltjait u és v szerint rendre ru-val és rv-vel jelölni. A paraméterezés természetes voltából következik, hogy ru és rv lineárisan függetlenek tetszőleges (u,v) párra r értelmezési tartományában, ezáltal kifeszítve az S érintősíkot minden pontban. Ezzel ekvivalensen az ru × rv keresztszorzat eredménye egy nemnulla vektor, amely merőleges a felületre. A paraméterezés tehát meghatározza egység hosszú normálvektorok (n) egy mezőjét:

A Gauss-féle második alapmennyiség szokásos írásmódja:

melynek mátrixa az érintő sík {ru, rv} bázisára

Az L, M, N együtthatók a parametrikus uv-sík egy adott pontjában megkaphatóak r második parciális deriváltjainak a normál vektor által meghatározott egyenesre történő vetítéseiként, melyek a skaláris szorzat segítségével a következőképpen számíthatóak: