Fermi-féle aranyszabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A Fermi-féle aranyszabállyal magyarázható, hogy a gázok színképében vannak erősebb és gyengébb vonalak: ezek különféle valószínűségű elektronszerkezeti átmeneteknek felelnek meg

A Fermi-féle aranyszabály egy kvantummechanikai összefüggés, mellyel megadható, hogy egy folytonos energiaspektrumú, gyengén perturbált kvantumrendszer energia-sajátállapotai között milyen az átmenetek egységnyi időre vetített valószínűsége.[1] Gyakori alkalmazása például az atomfizikában az elektromágneses sugárzás hatására történő atomi és molekulagerjesztések (és ezzel az atomi színképvonalak) leírása, illetve a magfizikában az atommagok energiaátmeneti valószínűségeinek jellemzése.

Bár a formula Enrico Fermi nevét viseli, mivel azt a fontossága miatt ő nevezte el „2. aranyszabálynak”,[2] de elsősorban Paul Dirac elméleti fizikus eredményének tartják az összefüggés levezetését.[3][4]

Az összefüggés[szerkesztés]

Legyen egy Hamilton-operátorral jellemzett rendszer egy kezdeti sajátállapota . A rendszerre hat egy (esetleg időfüggő) perturbáció.

Gyakori példák az alábbiak:

  • időfüggetlen perturbáció esetén a rendszer a kezdeti sajátállapot sajátenergiájával megyegyező energiájó állapotokba kerülhet;
  • harmonikus időfüggésű, körfrekvenciájú perturbáció a rendszert a kezdeti sajátállapot sajátenergiájánál energiával kisebb, vagy nagyobb állapotba juttathatja.

A fentiekre egyaránt érvényes, hogy egy kezdeti állapot és sok lehetséges végső állapot között megadható átmeneti ráta (időegységnyi valószínűség) gyakorlatilag állandó:

,

ahol a perturbáció braket-jelöléssel megadott megfelelő mátrixeleme kezdeti és végállapot között, pedig a végállapotok állapotsűrűsége.

Alkalmazások[szerkesztés]

Elektromágneses atomi gerjesztés[szerkesztés]

Egy körfrekvenciájú periodikus perturbáció esetén az átmeneti ráta a Fermi-féle aranyszabállyal adható meg.[5] A harmonikus időfüggésű perturbációt az alábbiak szerint jellemezhetjük:

,

ahol a perturbáció szorzójaként írt Heaviside-függvény (lépcsőfüggvény) gondoskodik a bekapcsolásról, azaz hogy időpillanat előtt a rendszer perturbálatlan, majd ezt követően harmonikus perturbáció hatása alatt van. A legyen Hermitikus, azaz önadjungált(wd) operátor:

.

A fenti perturbáció megfelelhet például egy -ig sajátállapotban levő, majd pillanattól kezdve elektromágneses hullámmal gerjesztett rendszernek, amennyiben a hullámhossz lényegesen nagyobb, mint a rendszer mérete. Azaz például leírható vele egy atom és egy elektromágneses hullám kölcsönhatása.

Tekintsük azt az esetet, amikor a után a periodikus perturbáció „bekapcsolva marad”. Ekkor igen sok idő után az átmeneti ráta állandósul, határértéke pedig:

.

A átmeneti valószínűség és jelölésekkel:

.

Az integrál elvégzése, majd a tagok komplex konjugáltjukkal beszorzása után az átmeneti valószínűség az alábbi alakra hozható:

.

Ez a függvény időben lineárisan nő. Az átmeneti ráta (időegység alatti valószínűség) ennek idő szerinti deriváltja, azaz időben állandó. A ráta frekvenciák helyett energiákkal is kifejezhető:

,

amely a Fermi-féle aranyszabállyal megadott átmeneti ráta az adott gerjesztő perturbáció mellett.

A Dirac-delta függvény formálisan vagy végtelen, vagy nulla, így a fenti összefüggés úgy lesz konzisztens, ha a végállapotoknak olyan az állapotsűrűsége, hogy az integrál elvégezhető legyen. Ennek megfelelően a Fermi-aranyszabály fentiek szerint jellemzően olyan esetben alkalmazható, ha például egy atomi spektrumban megadható egy folytonos állapotsűrűség, és a kibocsátott, vagy elnyelt foton energiája is folytonos lehet.

Ha megadjuk, hogy az atomi spektrumban milyen a végállapotok állapotsűrűsége (azaz az egységnyi energiatartományba eső állapotok száma), akkor a fenti összefüggés az alábbiak szerint írható át:

.

Magfizikai γ-bomlás[szerkesztés]

A gamma-sugárzáshoz vezető bomlási magreakció elektromágneses természetű. A jelenség teljesebb leírásához relativisztikus kvantum-elektrodinamikai térelméleti leírás szükséges, de bizonyos feltételek mellett félklasszikus leírása is adható a Fermi-féle aranyszabály segítségével.[6] Az elektromágneses teret ekkor klasszikusan értelmezik, a lehetséges végállapotok állapotsűrűségét pedig alakban adják meg. A Fermi-aranyszabály értelmében:

.

Mivel a kezdeti állapotban még nincs jelen a kibocsátandó foton, csak a gerjesztett mag, ezért a kezdeti állapotfüggvény:

,

ahol a mag állapotfüggvénye. A végállapotot a legerjedő mag és a kibocsátott foton együttese adja, így a végállapot már összetett:

,

ahol a foton polarizációs vektora, a fotont pedig elektromágneses síkhullámként értelmezzük. Az átmeneti mátrixelem a fentiekkel az alábbi szerint adható meg:

,

ahol a kölcsönhatást leíró perturbáció operátora.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Transition Probabilities and Fermi's Golden Rule. hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. (Hozzáférés: 2018. július 6.)
  2. Fermi, E.. Nuclear Physics. University of Chicago Press (1950). ISBN 978-0226243658 , formula VIII.2
  3. Quantum Mechanics, 2nd, 443. o. (1999). ISBN 978-0582356917 
  4. Dirac, P.A.M. (1927. március 1.). „The Quantum Theory of Emission and Absorption of Radiation”. Proceedings of the Royal Society A 114 (767), 243–265. o. DOI:10.1098/rspa.1927.0039.   Lásd a (24) és (32)-es összefüggéseket.
  5. P. E. Parris: Time Dependent Perturbations - Fermi's Golden Rule (egyetemi segédlet). (Hozzáférés: 2018. július 9.)
  6. Kis Dániel Péter: Válogatott fejezetek a magfizikából (egyetemi jegyzet). BME Nukleáris Technikai Intézet, 2011. (Hozzáférés: 2018. július 6.)

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Fermi's golden rule című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Források[szerkesztés]

Szakkönyvek[szerkesztés]

  • Charles Kittel: Bevezetés a szilárdtest-fizikába. Budapest: Műszaki Könyvkiadó. 1981.  
  • Sólyom Jenő: A modern szilárdtest-fizika alapjai II: Fémek, félvezetők, szupravezetők. Budapest: ELTE Eötvös Kiadó. 2010. 1068. o. ISBN 9789633120286  

Tananyagok, ismeretterjesztő weblapok[szerkesztés]