Ugrás a tartalomhoz

Eltolási tétel

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az eltolási tétel egy számolási szabályt mond ki a szórásnégyzet és a szórás számítására.

Legyenek valós számok, és számtani közepüket jelölje . Ekkor

.

Ez segíti a tapasztalati szórásnégyzet kiszámítását, különösen egyenként érkező adatok esetén. Ekkor nem kell letárolni az összes -t (tár), és nem kell végigfutni az összes tagon (számítási idő). Azonban korlátos számítási pontosság esetén a kivonás miatt vészes kiegyszerűsödés jöhet létre, különösen, ha sokkal nagyobb, mint a szórásnégyzet. Ekkor segíthet a következő becslés:[1]

.

A szakirodalom numerikusan stabilabb számítási módokat is ismer.[1]

Példa

[szerkesztés]

A minőségbiztosítás keretében kávécsomagokat mérlegelnek. Az első négy csomag súlya grammban:

Az átlagos súly:

A négyzetes eltérések összege:

További számítások a tétel alkalmazásához:

Ezzel például a (korrigált) tapasztalati szórásnégyzet:

mivel

Ha érkezik még egy csomag, akkor az eltolási tétel szerint a és összegeket kell továbbszámolni. Az ötödik csomag súlya 510 gramm. Ekkor

végül

Ezzel az új tapasztalati szórásnégyzet

Alkalmazások

[szerkesztés]

Szúrópróba kovarianciája

[szerkesztés]

Két valószínűségi változó, és a minta különböző tulajdonságait méri, kovarianciájuk

Eltolási tétellel

A korrigált tapasztalati kovariancia a minta átlagos kovariaciája

Valószínűségi változók

[szerkesztés]

Szórásnégyzet

[szerkesztés]

Egy valószínűségi változó szórásnégyzete

az eltolási tétellel[2]

ami König-Huygens-tételként ismert.

A várható érték linearitásával

Az eltolási tétel általánosabb ábrázolása:

.

Ha diszkrét valószínűségi változó az lehetséges kimenetekkel, és a hozzájuk tartozó valószínűségekkel, akkor

Speciálisan, ha , akkor , és a fenti képlettel

Ha abszolút folytonos valószínűségi változó, és sűrűségfüggvénye , akkor

Az eltolási tétellel

Kovariancia

[szerkesztés]

Két valószínűségi változó, és kovarianciája

Az eltolási tétellel

Diszkrét esetben

illetve

ahol a közös valószínűségi tömegfüggvény, az és valószínűségi tömegfüggvényekkel.

Folytonos esetben legyen és közös sűrűségfüggvénye az , helyen. Ekkor a kovariancia

illetve

Bizonyítás

[szerkesztés]

A legegyszerűbb esetben adottak az számok, amelyek például egy szúrópróbából származnak. A négyzetes eltérések összegének számítása:

ahol

a számok számtani közepe. Az eltolási tétel egy kis további számolással belátható:[3]

.

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. a b Tony F. Chan, Gene H. Golub, Randall J. LeVeque: Algorithms for computing the sample variance: analysis and recommendations. In: The American Statistician Vol. 37, No. 3 (Aug., 1983), S. 242–247
  2. Ansgar Steland: Basiswissen Statistik, S. 116
  3. Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Christian Dreger: Statistik: Grundlagen — Methoden — Beispiele, S. 86