Elektromágneses mező

Az elektromágneses mező elektromos és mágneses mező által létrehozott, a tér teljességét betöltő hatásmező. Hatást gyakorol az elektromos töltésű részecskékre, mely hatást elektromágneses erőnek (más néven elektromágneses kölcsönhatásnak) neveznek. Ezek a jelenségek nagy hatással vannak a mindennapi életre, mivel a tárgyakat és az élőlényeket felépítő anyagok belső tulajdonságait nagyban meghatározzák. Az atommag és az elektronburok közötti elektromágneses vonzás tartja egyben az atomokat, valamint a molekulákat alkotó atomok közötti kémiai kötésekért is az elektromágneses kölcsönhatás felel.

Elektromágneses mező energiája

Az elektromos és mágneses mező együttes jelenlétét nevezzük elektromágneses mezőnek. Dinamikai szempontból nincs lényegi különbség közöttük (mindkettő oka az elektromágneses erő), az elnevezésbeli különbség kinematikai szempontból indokolt. Ismert, hogy egy elektromosan töltött test elektrosztatikus teret hoz létre maga körül, ami vonzó vagy taszító erőként jelentkezik a térben jelenlévő töltéseken. Tehát mozgási energiájuk megváltozik, ugyanis a mező munkát végez rajtuk. A mező által végzett munka megegyezik egy, a mező állapotára jellemző mennyiség csökkenésével. Ezt a mennyiséget a mező energiájának kell tekintenünk. Ha a töltés mozgást végez már nem beszélünk elektrosztatikáról, ugyanis változó elektromos mező változó, (örvényes) mágneses mezőt hoz létre, ami Lorentz-erőként hat a mozgó töltésekre.

Elektromágneses mező energiája pontszerű töltésre

Pontszerű töltés mozgásegyenlete külső elektromágneses térben: ${\dot {\vec {p}}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$. Szorozzuk ezt skalárisan ${\vec {v}}$-vel!

${\vec {v}}{\dot {\vec {p}}}=q{\vec {v}}\cdot {\vec {E}}$

mivel ${\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\times {\vec {B}}=0$. Vegyük észre, hogy a fenti egyenlet bal oldalán a töltés mozgási energiájának idő szerinti deriváltja áll:

${\vec {v}}\cdot {\dot {\vec {p}}}=m{\vec {v}}\cdot {\dot {\vec {v}}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {m{\vec {v}}^{2}}{2}}={\frac {\partial }{\partial t}}E_{kin}$,

vagyis

${\frac {\partial }{\partial t}}E_{kin}=q{\vec {v}}\cdot {\vec {E}}$.

A fenti tulajdonképp nem más, mint a munkatétel egy pontszerű töltés esetére: a töltés mozgási energiájának időegységnyi megváltozása egyenlő az elektromos mező által a töltésen időegység alatt végzett munkával. Mivel a Lorentz-erő mindig merőleges a pillanatnyi elmozdulásra, ezért a mágneses mező nem végez munkát.

Elektromágneses mező energiája folytonos töltéseloszlásra

A fentieket alkalmazva egy folytonos töltéseloszlásra, az alábbi

${\frac {\partial }{\partial t}}{\mathcal {E}}_{kin}={\vec {j}}{\vec {E}}$

egyenletre jutunk, ahol ${\mathcal {E}}_{kin}$ nem más, mint a térfogategységre jutó mozgási energia. A fenti kifejezés nyilvánvalóan nem megmaradási tétel, azonban a Maxwell-egyenletek felhasználásával a megmaradási tételek standard alakjára hozható. Írjuk fel az alábbi két Maxwell-egyenletet:

${\underline {\nabla }}\times {\vec {E}}+{\dot {\vec {B}}}=0$

${\underline {\nabla }}\times {\vec {B}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{\dot {\vec {E}}}=\mu _{0}{\vec {j}}$

Szorozzuk meg skalárisan a felsőt ${\vec {B}}/\mu _{0}$-al, az alsót pedig ${\vec {E}}/\mu _{0}$-al! A szorzás tulajdonképpen triviálisnak mondható, hiszen azt akarjuk elérni, hogy megjelenjen a fenti egyenletben lévő ${\vec {j}}{\vec {E}}$ kifejezés.

${\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot {\underline {\nabla }}\times {\vec {E}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot {\dot {\vec {B}}}=0$

${\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\cdot {\underline {\nabla }}\times {\vec {B}}-\epsilon _{0}{\vec {E}}\cdot {\dot {\vec {E}}}={\vec {j}}{\vec {E}}$

Ezek után vonjuk ki az alsó egyenletből a felsőt és rendezzük át az alábbi módon:

${\vec {j}}{\vec {E}}={\frac {1}{\mu _{0}}}({\vec {E}}\cdot {\underline {\nabla }}\times {\vec {B}}-{\vec {B}}\cdot {\underline {\nabla }}\times {\vec {E}})-{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot {\dot {\vec {B}}}-\epsilon _{0}{\vec {E}}\cdot {\dot {\vec {E}}}$

Felhasználva, hogy ${\vec {E}}\cdot {\underline {\nabla }}\times {\vec {B}}-{\vec {B}}\cdot {\underline {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\underline {\nabla }}({\vec {E}}\times {\vec {B}})$, valamint hogy ${\vec {B}}\cdot {\dot {\vec {B}}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^{2}$ és ${\vec {E}}\cdot {\dot {\vec {E}}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{2}}{\vec {E}}^{2}$, a fenti képlet az alábbi alakra hozható:

${\vec {j}}{\vec {E}}=-{\underline {\nabla }}\cdot {\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\times {\vec {B}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}{\vec {E}}^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}{\vec {B}}^{2}\right)$

Az

${\vec {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\times {\vec {B}}$ mennyiséget Poynting-vektor-nak nevezzük, a

$w^{e}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}{\vec {E}}^{2}$

$w^{m}={\frac {1}{2\mu _{0}}}{\vec {B}}^{2}$

mennyiségeket pedig rendre az elektromos és mágneses mező energiasűrűségének. Szokás a kettő összegét, azaz a $w=w^{e}+w^{m}$ összeget az elektromágneses mező teljes energiasűrűségének nevezni.

A fentiek alapján tehát ${\frac {\partial }{\partial t}}({\mathcal {E}}_{kin}+w)+{\underline {\nabla }}{\vec {S}}=0.$ egyenlet egy lokális megmaradási törvény, melyet az energiatétel differenciális alakjának nevezünk. Integrálva ezt egy rögzített ${\mathcal {V}}$ térfogatra, melyet az ${\mathcal {F}}$ felület határol, a következő összefüggésre jutunk:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{\mathcal {V}}({\mathcal {E}}_{kin}+w)d^{3}{\vec {r}}=-\int _{\mathcal {V}}{\underline {\nabla }}{\vec {S}}d^{3}{\vec {r}}=-\oint _{\mathcal {F}}{\vec {S}}{\vec {n}}df$

Tegyük most fel, hogy ${\mathcal {V}}$ térfogat ${\mathcal {F}}$ határán ${\vec {S}}={\vec {0}}$; ekkor

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{\mathcal {V}}({\mathcal {E}}_{kin}+w)d^{3}{\vec {r}}={\frac {\partial }{\partial t}}(E_{kin}+W)=0$

összefüggésre jutunk, ahol W a mező teljes energiasűrűségének térfogati integrálja, amit a mező energiájának tekinthetünk. $E_{kin}$ pedig nem más, mint a töltések mozgási energiája.

Abban az esetben, ha ${\vec {S}}\neq {\vec {0}}$, $W+E_{kin}$ nem állandó, azaz a térfogatba energia áramlik be, vagy onnan ki. Ebből látszik, hogy ${\vec {S}}$ a felületegységen időegység alatt átvitt energiát jelenti, azaz a Poynting-vektor nem más, mint a mező energiaáram-sűrűsége, azaz a teljesítménysűrűsége.

Ha a részecskék elég közel vannak egymáshoz, $E_{kin}$-t az anyag belső energiájának megnövekedéseként észleljük; ezt szoktuk Joule-hőnek nevezni.

Elektromágneses mező impulzusa

A töltéssel rendelkező anyag impulzusa elektromágneses térben nem megmaradó mennyiség, mivel a töltésekre a mező erőt gyakorol. Azonban a töltések által „felvett” impulzus megegyezik egy, a mezőhöz rendelhető állapothatározó csökkenésével, melyet a mező impulzusának tekinthetünk. Ebben az esetben a töltés és a mező együttes impulzusa megmarad.

A mezőben mozgó elektromos töltés impulzusának megváltozását a

${\dot {\vec {p}}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$

mozgásegyenlet adja meg. Folytonos töltéseloszlás esetén ez a

${\dot {\vec {\pi }}}=\rho {\vec {E}}+{\vec {j}}\times {\vec {B}}$

alakba írandó, ahol ${\vec {\pi }}$ nem más, mint a mechanikai impulzussűrűség. Ez egyelőre nem megmaradási törvény, de az előzőekhez hasonlóan ezt is azzá tehetjük. Ennek módja pedig a következő:

Amennyiben

${\underline {\nabla }}{\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Maxwell-egyenletet skalárisan $\epsilon _{0}{\vec {E}}$-al,

${\underline {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Maxwell-egyenletet egy átrendezését jobbról vektoriálisan ${\vec {B}}/\mu _{0}$-al szorzunk, majd összeadjuk a két egyenletet, az alábbi alakra jutunk:

$\rho {\vec {E}}+{\vec {j}}\times {\vec {B}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}({\underline {\nabla }}{\vec {E}})+{\frac {1}{\mu _{0}}}({\underline {\nabla }}\times {\vec {B}})\times {\vec {B}}-\epsilon _{0}{\dot {\vec {E}}}\times {\vec {B}}$

A kifejezés szimmetrikussá tehető egy nullával egyenlő kifejezés hozzáadásával. E célból ${\underline {\nabla }}{\vec {B}}=0$ Maxwell-egyenletet szorozzuk meg ${\vec {B}}/\mu _{0}$-al,${\underline {\nabla }}\times {\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=0$ Maxwell-egyenletet pedig jobbról vektoriálisan $\epsilon _{0}{\vec {E}}$-vel! A két egyenletet összeadva az alábbi összefüggést kapjuk:

$0={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}({\underline {\nabla }}{\vec {B}})+\epsilon _{0}({\underline {\nabla }}\times {\vec {E}})\times {\vec {E}}+\epsilon _{0}{\dot {\vec {B}}}\times {\vec {E}}$

Ezt hozzáadva a fenti egyenlethez, a ${\frac {\partial }{\partial t}}\pi =\epsilon _{0}{\vec {E}}({\underline {\nabla }}{\vec {E}})+{\frac {1}{\mu _{0}}}({\underline {\nabla }}\times {\vec {B}})\times B-\epsilon _{0}{\dot {\vec {E}}}\times {\vec {B}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}({\underline {\nabla }}{\vec {B}})+\epsilon _{0}({\underline {\nabla }}\times {\vec {E}})\times {\vec {E}}-\epsilon _{0}{\vec {E}}\times {\dot {\vec {B}}}=$

$=\epsilon _{0}({\vec {E}}({\underline {\nabla }}{\vec {E}})+({\underline {\nabla }}\times {\vec {E}})\times {\vec {E}})+{\frac {1}{\mu _{0}}}({\vec {B}}({\underline {\nabla }}B)+({\underline {\nabla }}\times {\vec {B}})\times {\vec {B}})-{\frac {\partial }{\partial t}}(\epsilon _{0}{\vec {E}}\times {\vec {B}})$

összefüggésre jutunk, melynek utolsó tagjában az

${\vec {g}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}\times {\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\times {\vec {B}}\right)={\frac {1}{c^{2}}}{\vec {S}}$

vektor időderiváltja szerepel. ${\vec {g}}$ vektort a mező impulzussűrűségének nevezzük.

Források

• Hraskó Péter – Elméleti fizika II.