Duális számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A duális számok halmaza a valós számkör bővítése úgy, hogy felveszünk egy ε≠0 elemet, amelyre teljesül az ε2=0 egyenlőség.
Így duális számok azok, amelyek felírhatók alakban.

Konstrukció[szerkesztés]

A duális számokat a komplexekhez hasonlóan többféleképpen konstruálhatjuk:

  • Rendezett párokként a megfelelő műveletek definiálásával
  • Meghatározott alakú mátrixokként a szokásos mátrixszorzással és összeadással
Legyen
A mátrixszorzás az ilyen mátrixok között kommutatív:

és

  • A gyűrűből, azaz a valósak feletti álló polinomok -tel vett maradékosztályaiból,
ugyanúgy, ahogyan a komplex számokat tekinthetjük a valósak feletti polinomok -gyel vett maradékosztályainak.

Ezek a definíciók algebrailag ekvivalensek.

Műveletek[szerkesztés]

Alapműveletek[szerkesztés]

Összeadás:

Szorzás:

Következmények[szerkesztés]

Osztás:

Csak akkor értelmezett, ha , ezért a duális számok nem alkotnak testet.

Gyökvonás:

Csak akkor értelmezett, ha

Definíciók[szerkesztés]

Konjugáció:

konjugáltjának jele

Algebrai tulajdonságok[szerkesztés]

A duális számok a fenti definíciókkal kommutatív egységelemes gyűrűt és a valós számok felett algebrát alkotnak. A valós számokkal szemben a duális számok nem alkotnak testet.

Duális számok és függvények[szerkesztés]

A duális számokon értelmezhetjük az egész kitevőjű hatványozást, így a polinomokat is.

Ha adott egy polinom, akkor ezt alkalmazhatjuk egy duális számra. Észrevehetjük, hogy , ahol a deriváltja.[1]

Ezt a polinomokról kiterjeszthetjük az valós analitikus függvényekre:

A deriváltak megjelenését az a tulajdonság indokolja, hogy az hasonlóan viselkedik, mint a nemstandard analízisben a végtelenül kicsi mennyiségek, hiszen a négyzetével nem kell tovább számolni, elhagyható.

Néhány függvény a duális számokon[szerkesztés]




Modulus és argumentum[szerkesztés]

A komplex számokhoz hasonlóan a duális számokon is értelmezhető a modulus és az argumentum fogalma. A modulust határozzuk meg a konjugált fogalmával:

Ez összhangban van azzal, hogy bizonyos értelemben kicsi.

Az argumentum legyen

Így a komplexekkel analóg módon

Megmarad az a tulajdonság is, hogy szorzásnál az eredmény modulusa az eredeti modulusok szorzata és az eredmény argumentuma az eredeti argumentumok összege.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Például