Csebisev-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikában a Csebisev-függvény a Csebisevről elnevezett két függvény egyike. Az első Csebisev-függvény a ϑ(x) vagy θ(x) definíciója

ahol az összegzés az x-nél nem nagyobb prímekre megy.

A második Csebisev-függvény definíciója hasonló, de az összegzés az összes x-nél nem nagyobb prímhatványt magában foglalja:

ahol a von Mangoldt-függvény. A Csebisev-függvények, különösen a ψ(x) második Csebisev-függvény gyakran hasznosnak bizonyulnak a prímekhez kapcsolódó problémákban, mivel egyszerűbb velük számolni, mint a prímszámláló π(x) függvénnyel.

Mindkettő aszimptotikus x-hez, ami a prímszámtétellel ekvivalens.

Kapcsolatuk[szerkesztés]

A második Csebisev-függvény kifejezhető, mint

ahol k az az egész, amire pk ≤ x, és x < pk+1. A k értékek sorozata OEISA206722. A következő egy még közvetlenebb kapcsolatot fejez ki:

Jegyezzük meg, hogy ez utóbbi összegben véges sok tag kivételével mindegyik nulla:

A második Csebisev-függvény az 1-től n-ig terjedő egészek legkisebb közös többszörösének logaritmusa:

Az n függvényében a    sorozat az OEISA003418 sorozat.

Aszimptotika és korlátok[szerkesztés]

A következő képletekben a pk a k-adik pozitív prímet jelöli. A Csebisev-függvényre a következő korlátok ismertek:Sablon:RefSablon:Ref

-re
k ≥ 198-ra,
minden x ≥ 10,544,111-re,
minden x ≥ exp(22)-re,
minden -re.

Továbbá, a Riemann-hipotézis teljesülése esetén

minden -ra.

Mindkét függvényre ismertek felső korlátok is, így[1]

minden -ra. Az 1,03883 magyarázatát az OEISA206431 adja meg.

Egzakt képletek[szerkesztés]

1895-ben Hans Carl Friedrich von MangoldtSablon:Ref explicit kifejezte a függvényt a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összegeként:

ahol ζ'(0)/ζ(0) értéke log(2π), befutja a zéta-függvény nem triviális gyökeit, és ψ0 éppen a ψ, kivéve, hogy átugorja annak szakadási helyeit a prímhatványoknál, és ezeken a helyeken a két határérték számtani közepét veszi fel:

A logaritmus Taylor-sora szerint az utolsó tag tekinthető, mint összege a Riemann-féle zéta-függvény triviális gyökei, a negatív egészek fölött:

Hasonlóan, az első tag x = x1/1 megfelel a Riemann-féle zéta-függvény elsőrendű pólusának az 1 helyen. Mivel nem gyök, hanem pólus, azért negatív előjellel szerepel az összegben.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Erhard Schmidt egy tétele szerint egy rögzített pozitív egész K-ra végtelen sok olyan x létezik, amire

és végtelen sok x, hogy

Sablon:RefSablon:Ref

A kis ordo jelöléssel

Hardy és LittlewoodSablon:Ref eredménye erősebb:

Kapcsolat a primoriálokkal[szerkesztés]

Az első Csebisev-függvény x primoriáljának logaritmusa, amit x# jelöl:

Ez bizonyítja, hogy az x# primoriál aszimptotikusan egyenlő exp((1+o(1))x)-szel, ahol "o" a kis ordo jelölés, és a prímszámtétellel együtt bizonyítja pn# aszimptotikus viselkedését.

Kapcsolat a prímszámláló függvénnyel[szerkesztés]

A Csebisev-függvények kapcsolatba hozhatók a prímszámláló függvénnyel. Legyen

Ekkor

Az áttérés -ről -reó a következő egyenlettel lehetséges:

Mivel , azért a legutóbbi reláció írható, mint

A Riemann-hipotézis[szerkesztés]

A Riemann-hipotézis szerint a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek valós része 1/2. Ekkor , és megmutatható, hogy

A fentiek szerint ebből következik, hogy

Alain Connes és társai úgy próbálták igazolni a hipotézist, hogy deriválták a von Mangoldt-formulát x szerint, ahol x = exp(u). A Hamilton-operátor exponenciálisának nyom képletét véve

ahol a trigonometrikus összeg tekinthető az operátor nyomának, ami csak akkor igaz, ha

A H = T + V hatványának félklasszikus megközelítésével:

ahol Z(u) → 0 as u → ∞. A egy megoldása ennek a nemlineáris integrálegyenletnek, a

hatvány inverzének a kiszámításával.

Simító függvény[szerkesztés]

A simító függvény definíciója

Belátható, hogy

Variációszámítás[szerkesztés]

A Csebisev-függvény az x = exp(t) helyen minimalizálja az

funkcionált, így

c > 0 -ra.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Rosser, J. Barkley (1962). „Approximate formulas for some functions of prime numbers.”. Illinois J. Math. 6, 64–94.. o. [2016. augusztus 18-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés ideje: 2017. augusztus 3.)  

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Chebyshev function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.