Örökifjú tulajdonság

A lap ellenőrzött változata (ellenőrizve: 2020. január 27.) ezen a változaton alapul.

Az örökifjú tulajdonság egy valószínűségszámításban használt fogalom.

A X valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú (vagy röviden örökifjú), ha minden $a\geq 0$ és $b\geq 0$ számra teljesül, hogy

$P(X>a+b\,\mid \,X>a)=P(X>b)$ vagy $P(X\geq a+b\,\mid \,X\geq a)=P(X\geq b)$ . (A kettő megkülönböztetésének folytonos valószínűségi változóknál nincs jelentősége.)

Szemléletesen, ha például a valószínűségi változó egy eszköz élettartama, akkor az örökifjú tulajdonság azt jelenti, hogy a valamilyen életkorú eszköz ugyanakkora eséllyel nem romlik el még t ideig, amekkora eséllyel nem romolna el t ideig, ha új lenne.

Példák

Folytonos valószínűségi változó

Az exponenciális eloszlású valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú.

Bizonyítás:

Mivel $P(X<x)=1-e^{-\lambda x}$ minden $x\geq 0$ számra, ezért $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ minden $x\geq 0$ számra. Így $P(X>a+b\,\mid \,X>a)={\frac {e^{-\lambda (a+b)}}{e^{-\lambda a}}}=e^{-\lambda b}=P(X>b)$ .

Megmutatható, hogy csak az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságú a folytonos eloszlások közül, vagyis ha egy folytonos valószínűségi változó örökifjú tulajdonságú, akkor exponenciális eloszlást követ.

Diszkrét valószínűségi változó

A geometriai eloszlás is örökifjú tulajdonságú.

Ha $P(X=n)=p(1-p)^{n}$ , akkor $P(X\geq s+t|X\geq t)={\frac {P(X\geq s+t\cap X\geq t)}{P(X\geq t)}}={\frac {P(X\geq s+t)}{P(X\geq t)}}={\frac {(1-p)^{s+t}}{(1-p)^{t}}}=(1-p)^{s}=P(X\geq s)$ .

Felhasználtuk benne a mértani sor összegére vonatkozó képletet.

Ha pedig $P(X=n)=p(1-p)^{n-1}$ , akkor $P(X>s+t|X>t)={\frac {P(X>s+t\cap X>t)}{P(X>t)}}={\frac {P(X>s+t)}{P(X>t)}}={\frac {(1-p)^{s+t+1-1}}{(1-p)^{t+1-1}}}=(1-p)^{s+1-1}=P(X>s)$ .

A diszkrét eloszlások közül a geometriai az egyetlen örökifjú tulajdonságú.

Források