Weierstrass approximációs tétele
Weierstrass (első) approximációs tétele a matematikai analízis gyakorlati és elméleti szempontból is jelentős eredménye. A Karl Weierstrass német matematikus által 1885-ben publikált tétel szerint a valós számok egy zárt intervallumán folytonos valós függvények egyenletesen közelíthetők polinomokkal.
A tétel megfogalmazása és bizonyítása
A tétel azt állítja, hogy tetszőleges, az [a,b] zárt valós intervallumon folytonos f valós függvényhez és minden ε>0-hoz megadható olyan p polinom, hogy |f(x)-p(x)|<ε minden x∈[a,b]-re. Valóban, a Heine-tétel szerint f egyenletesen folytonos [a,b]-n, tehát van olyan δ>0, hogy x,y∈[a,b],|x-y|<δ esetén |f(x)-f(y)|<ε. Legyen egy δ-nál finomabb felosztás, és jelöljük g-vel azt a töröttvonalfüggvényt, amely az xi pontokban megegyezik f-el, az [xi-1,xi] intervallumokban pedig lineáris. Ekkor |g(x)-f(x)|<ε minden x∈[a,b]-re. Ha ui. xi-1≤x≤xi, akkor |x-xi-1|<δ és |x-xi|<δ alapján |f(x)-f(xi-1)|<ε és |f(x)-f(xi)|<ε, azaz f(xi-1) és f(xi) mindegyike az (f(x)-ε,f(x)+ε) intervallumba esik. Mivel g(x) a g(xi-1)=f(xi-1) és g(xi)=f(xi) számok között van (hiszen g lineáris [xi-1,xi]-ben), ezért |g(x)-f(x)|<ε. Mivel bármely töröttvonalfüggvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal, létezik olyan p polinom, amelyre |p(x)-g(x)|<ε minden x∈[a,b]-re. Ekkor |p(x)-f(x)|≤|p(x)-g(x)|+|g(x)-f(x)|<2ε minden x∈[a,b]-re.
Jelentősége
A tétel gyakorlati jelentősége az, hogy megmutatja: a számítógépekkel jól kezelhető polinomfüggvények segítségével tetszőlegesen jól közelíthetők a zárt intervallumon folytonos függvények. Egyik fontos elméleti folyománya az, hogy a zárt intervallumon folytonos függvények tere szeparábilis.
Általánosítása
A tételt a 20. század közepén jelentősen általánosította Marshall Stone, aki egyben a bizonyítást is leegyszerűsítette. Az általánosított eredmény Stone–Weiertstrass-tétel néven ismert.
Források
- Laczkovich Miklós–T. Sós Vera: Analízis II. ISBN 978 963 19 6084 6
- K. Weierstrass (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II). Erste Mitteilung (Első rész) 633–639. oldal, Zweite Mitteilung (Második rész) 789–805. oldal.
- Stone, Marshall H.: The Generalized Weierstrass Approximation Theorem. Mathematics Magazine pp. 167–184, 1948. DOI:10.2307/3029750.