Töröttvonalfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában töröttvonalfüggvénynek nevezünk f[a,b]→ℜ függvényeket, ha van olyan a=x_0<x_1<...<x_n=b felosztás, hogy f mindegyik [xi-1,xi] intervallumban lineáris, azaz m·x+c alakú.

Töröttvonalfüggvény közelítése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bármely töröttvonalfüggvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal. Legyen ugyanis az f töröttvonalfüggvény meredeksége az [xi-1,xi] intervallumban mi, és tekintsük a

\Phi(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{ha }x \le x_{i-1}, \\ (m_i-m_{i-1})\cdot(x-x_{i-1}), & \mbox{ha }x\ge x_{i-1} \end{cases}

függvényeket (i=1,...,n), ahol m0=0. Ekkor a

 \Phi=\sum_{i=1}^n\Phi_i

függvény olyan töröttvonalfüggvény, amelynek a meredeksége az [xi-1,xi] intervallumban mi minden i=1,...n-re. Ebből egyszerűen adódik, hogy

f=\Phi+f\left(a\right).

Most belátjuk, hogy mindegyik Φi függvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal az [a,b] intervallumban. Legyen i rögzített, és vezessük be az xi-1=c és m=(mi-mi-1/2) jelölést. Ekkor

\Phi_i(X)=m\cdot\left(|x-c|+\left(x-c\right)\right)

minden x-re. Válasszunk egy olyan r számot, amelyre c-r<a<b<c+r. Az előző példa szerint minden ε>0-hoz létezik olyan p polinom, hogy |p(x)-|x||<ε minden x∈[-1,1]-re. Ekkor a

q_i(x)=mr\cdot p\left(\frac{x-c}{r}\right)+m\cdot(x-c)

polinomra teljesül, hogy

 |q_i(x)-\Phi_i(x)|<|m|r\cdot\varepsilon

minden x∈[c-r,c+r]-re, tehát minden x∈[a,b]-re is. Így a

q=f(a)+\sum_{i=1}^nq_i

polinom rendelkezik a tulajdonsággal, hogy

|q(x)-f(x)|<K\cdot\varepsilon

minden x∈[a,b]-re, ahol K konstans nem függ ε-tól.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Laczkovich Miklós-T. Sós Vera: Analízis II. ISBN 978-963-19-6084-6