A Titu-lemma (avagy Titu Andreescu-féle egyenlőtlenség) a következő algebrai egyenlőtlenség:
,
ahol
pozitív egész, az
pozitív valós, míg az
tetszőleges valós szám, bármely
pozitív egész szám esetén.
Nevét az 1956-ban Temesváron született Titu Andreescu után kapta.
Végezzük el az
,
helyettesítést! Ekkor a következőt kapjuk:
, átrendezve
,
ami pont a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség. Ennek egyenlőség-esete:
minden i-re egyenlő.
Teljes indukciót alkalmazunk, felhasználva az n=2 esetet, amit felszorzással és ekvivalens egyenlőtlenségekkel látunk be:
,
,
,
.
Ez nyilván igaz, és egyenlőség-esete is leolvasható:
.
Az indukciós feltevésünk az eredeti egyenlőtlenség valamely n-re, ehhez még hozzávesszük az (n+1)-edik tagot:
,
itt az első becslés az indukciós feltevés, a második pedig a kétváltozós egyenlőtlenség alkalmazása
,
,
,
esetre. Az egyenlőség-esetre is látható az indukciós bizonyítás.
A Titu-lemma igen gyakran alkalmazható "törtes" egyenlőtlenségeknél. A következő példa a Nesbitt-egyenlőtlenség egyik általánosítása:
,
ahol
(i=1,2,...,n) és
.
Első ránézésre nem látszik a bal oldali törtek számlálójában a teljes négyzet. Bővítsük tehát a törteket, majd alkalmazzuk a Titu-lemmát:
.
Elég volna belátni, hogy
, ami átrendezve
,
ami pedig triviális, mert ez a Titu-lemma
-re. Egyenlőség akkor és csak akkor, ha minden változó egyenlő.