Nesbitt-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a Nesbitt-egyenlőtlenség a Shapiro-egyenlőtlenség egy speciális esete. Tegyük fel, hogy a, b és c pozitív valós számok. Ekkor:

 \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Első bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kezdjük Nesbitt-egyenlőtlenségével (1903)

 \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}

átalakítjuk a bal oldalát:

\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\geq\frac{3}{2}.

Átalakítva:

((a+b)+(a+c)+(b+c))\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\geq 9.

Majd pedig:

\frac{(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+c}}.

Most a bal oldalon van a számtani közép és jobbra a harmonikus közép, tehát ez az egyenlőtlenség igaz, hiszen a számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség igaz 3 pozitív szám esetén.

Második bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tegyük fel, hogy  a \ge b \ge c . Ekkor viszont:

\frac 1 {b+c} \ge \frac 1 {a+c} \ge \frac 1 {a+b}

Felhasználva a rendezési egyenlőtlenséget tudjuk, hogy:

\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{b+c}
\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{b+c}

A kettőt összeadva kapjuk, hogy :

2 \left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \right)\geq \frac{a+b}{a+b}+\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c} =3

Ha ezt osztjuk 2-vel, akkor megkapjuk a kívánt állítást.

Általánosítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]