Nesbitt-egyenlőtlenség

A matematikában a Nesbitt-egyenlőtlenség a Shapiro-egyenlőtlenség egy speciális esete. Tegyük fel, hogy a, b és c pozitív valós számok. Ekkor:

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}$

Bizonyítás

Első bizonyítás

Kezdjük a Nesbitt-egyenlőtlenséggel (1903)

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}$

átalakítjuk a bal oldalát:

${\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {a+b+c}{a+c}}+{\frac {a+b+c}{a+b}}-3\geq {\frac {3}{2}}.$

Átalakítva:

$((a+b)+(a+c)+(b+c))\left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}\right)\geq 9.$

Majd pedig:

${\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{b+c}}}}.$

Most a bal oldalon van a számtani közép és jobbra a harmonikus közép, tehát ez az egyenlőtlenség igaz, hiszen a számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség igaz 3 pozitív szám esetén.

Második bizonyítás

Tegyük fel, hogy $a\geq b\geq c$. Ekkor viszont:

${\frac {1}{b+c}}\geq {\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {1}{a+b}}$

Felhasználva a rendezési egyenlőtlenséget tudjuk, hogy:

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {a}{a+b}}+{\frac {c}{a+c}}+{\frac {b}{b+c}}$

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {b}{a+b}}+{\frac {a}{a+c}}+{\frac {c}{b+c}}$

A kettőt összeadva kapjuk, hogy :

$2\left({\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\right)\geq {\frac {a+b}{a+b}}+{\frac {a+c}{a+c}}+{\frac {b+c}{b+c}}=3$

Ha ezt osztjuk 2-vel, akkor megkapjuk a kívánt állítást.

Harmadik bizonyítás

Legyen $s=a+b+c$. Mivel az $f(x)={\frac {x}{s-x}}$ függvény konvex a $(0,s)$ szakaszon, így a Jensen-egyenlőtlenség szerint:

${\frac {1}{3}}f(a)+{\frac {1}{3}}f(b)+{\frac {1}{3}}f(c)\geq f(s/3)={\frac {s/3}{s-s/3}}={\frac {1}{2}}$ ,

ami 3-mal átszorozva a bizonyítandó egyenlőtlenséget adja:

${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}$ .

Általánosítások

• $\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{\sum \limits _{j=1}^{n}a_{j}-a_{i}}}\geq {\frac {n}{n-1}}$ (mindhárom bizonyítás módszerével azonnal megkapjuk ennek az általánosításnak a bizonyítását is.)
• Shapiro-egyenlőtlenség
• Titu-lemma
• súlyozott változat