Nesbitt-egyenlőtlenség

A matematikában a Nesbitt-egyenlőtlenség a Shapiro-egyenlőtlenség egy speciális esete. Feltételezzük, hogy pozitív valós számokat jelentenek az a, b és c betűk:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$

Bizonyítás

Első bizonyítás

Kezdjük Nesbitt-egyenlőtlenségével (1903)

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$

átalakítjuk a bal oldalát:

$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\geq\frac{3}{2}.$

Most átalakítjuk a következőbe:

$((a+b)+(a+c)+(b+c))\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\geq 9.$

3-mal való elosztás a helyes faktorhozamok által:

$\frac{(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+c}}.$

Most baloldalt van a számtani közép és jobbra a harmonikus közép, tehát ez az egyenlőtlenség igaz. Meg kaptuk három változóra a számtani- és harmonikus közép közötti egyenlőtlenséget.

Második bizonyítás

Tegyük fel, hogy $a \ge b \ge c$,akkor

$\frac 1 {b+c} \ge \frac 1 {a+c} \ge \frac 1 {a+b}$

Definiáljuk

$\vec x = (a, b, c)$

$\vec y = (\frac 1 {b+c} , \frac 1 {a+c} , \frac 1 {a+b})$

A két sorozat skaláris szorzata az egyenlőtlenség átcsoportosítása miatt maximális, ha ugyanabban az irányban szerkesztjük $\vec y_1$ és $\vec y_2$, $\vec y$ vektor egy és kettő között mozog, majd ezt kapjuk:

$\vec x \cdot \vec y \ge \vec x \cdot \vec y_1$

$\vec x \cdot \vec y \ge \vec x \cdot \vec y_2$

Az összeadás nyújtja Nesbitt egyenlőtlenségét.

Általánosítások

- Shapiro-egyenlőtlenség

- Titu-lemma

- súlyozott változat