Szerkesztő:Klj/szuprémum

A matematikában egy részbenrendezett halmaz részhalmazának szuprémumán, illetve infimumán annak legkisebb felső, illetve legnagyobb alsó korlátját értjük, és ${\mathfrak {P}}\,$ halmaz szuprémumát $\sup {\mathfrak {P}}\,$-sel, infimumát $\inf {\mathfrak {P}}$-sel jelöljük. A valós számok nevezetes tulajdonsága a Dedekind-féle teljesség, tudniillik, hogy minden felulről korlátos részhalmazának létezik szuprémuma, és a Dedekind-tétel kimondja, hogy izomorfia erejéig a valós számok teste az egyetlen teljesen rendezett test.

Előfordul, hogy egyes esetekben a szuprémumot, mint a konkrét halmaz elemét, keressük. Erre látható alább egy példa, miszerint egy halmaznak nem létezik halmazbeli legkisebb felső korlátja. Fontos, hogy az általános definíció értelmében ettől még van a halmaznak szuprémuma, csak az éppen nem magának a halmaznak eleme (azonban az őt tartalmazó "alaphalmaznak" eleme).

Definíció

Legyen ${\mathfrak {S}}\,$ részben rendezett halmaz, és ${\mathfrak {P}}\subseteq {\mathfrak {S}}\,$. Ekkor

$\sup {\mathfrak {P}}=\min\{{\mathfrak {u}}\in {\mathfrak {S}}:\forall {\mathfrak {p}}\in {\mathfrak {P}}({\mathfrak {p}}\leq {\mathfrak {u}})\}$ és

$\inf {\mathfrak {P}}=\max\{{\mathfrak {l}}\in {\mathfrak {S}}:\forall {\mathfrak {p}}\in {\mathfrak {P}}({\mathfrak {p}}\geq {\mathfrak {l}})\}$.

Vegyük észre, hogy ekkor ${\mathfrak {u}}$ és ${\mathfrak {l}}$ csak a ${\mathfrak {S}}\,$alaphalmaz eleme s nem feltétlenül ${\mathfrak {P}}\,$-é.

Bővebben a Korlátos halmaz-okról.

Példa korlátos halmazra, melynek nem létezik sem szuprémuma, sem infimuma az adott halmazból

Azon számok halmazának, melyeknek a négyzete kisebb kettőnél, a racionálisok között nem létezik sem infimuma, sem szuprémuma.

Indirekt tegyük fel, hogy $\exists s=\sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}$. Ekkor per definitionem $s=min\{u\in \mathbb {Q_{+}} :(u^{2}\geq 2)\}$, amire a gyökvonás folytonossága és monotonitása miatt teljesül, hogy $s^{2}=2$, azaz $\mathbb {Q} \ni s={\sqrt {2}}$, ami közismerten lehetetlen. Általában is igaz, ha egy olyan valós halmazt szorítunk meg a racionálisokra, aminek a szuprémuma nem racionális, akkor a kapott halmaznak a racionálisok között nincs szuprémuma.

Természetesen ekkor még igaz, hogy a valós számok, mint alaphalmaz elemei között lesz a fenti halmaznak szuprémuma (és infinuma is). Ehhez részletesebben lásd Numerikus sorozatok/Korlát és határ.