Stackelberg-duopólium

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Stackelberg-duopólium duopolhelyzetben lévő vállalatok viselkedésének modellezésére szolgál a mikroökonómiai piacelméletben. A modellt Heinrich von Stackelberg német közgazdász alkotta meg 1934-ben írott, Marktform und Gleichgewicht (Piaci forma és egyensúly) című művében.

A Stackelberg-duopólium jellemzői:

  • A piacon rövid és hosszú távon is pontosan két eladó (a továbbiakban: vállalat) van jelen, akik között nincs együttműködés.
  • A két vállalat ugyanazokat a termékeket állítja elő.
  • A megtermelt termékegységek homogének, azaz minőségükben nem különböznek egymástól.
  • A vállalatok egyetlen célja profitjuk maximalizálása, aminek érdekében az összes rendelkezésükre álló információt felhasználják.
  • A vállalatok csak a vagyon általuk kibocsátott mennyiségéről döntenek, a termék – egyetlen – árát piaci folyamatok alakítják ki.
  • A vállalatok kínálati döntésüket szekvenciális módon, vagyis stratégiai szempontból egymás után hozzák. Ez azt jelenti, hogy az egyik vállalat – a követő – kínálati döntésének meghozatalakor ismeri a másik – a vezető – döntését; fordítva viszont ez nem teljesül.
  • A vezető vállalat ismeri a követő költségviszonyait.

A reakciófüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelöljük a két vállalat által kínált termék keresleti függvényét D(p)\,-vel (p a piaci ár); a vezető, illetve a követő vállalat kibocsátását yv-vel, illetve yk-val; összköltség-függvényeiket pedig C_v (y_v)\,-vel és C_k (y_k)\,-val.

Először a követő profitmaximalizálási feladatát vesszük szemügyre. A követő vállalat profitja – \pi _k\, – definíció szerint az árbevétel (a termék ára szorozva a kibocsátott mennyiséggel) és az összköltség különbsége:

\pi _k = p \cdot y_k - C_k (y_k)

A vállalat azt is tudja, hogy p értéke a piaci folyamatok révén határozódik meg; méghozzá olyan módon, hogy a termék piaci kereslete egyenlő lesz a teljes piaci kínálattal (y_v + y_k\,):

D(p) = y_v + y_k\,

Ugyanezt az egyenlőséget a keresleti függvény inverzére (jelöljük ezt nagy P-vel) felírva:

p = P(y_v + y_k),\,

így a követő profitfüggvénye csak a két vállalat kibocsátásától függ:

\pi _k = P(y_v + y_k) \cdot y_k - C_k (y_k)

A profitot maximalizáló yk értékre a profitfüggvény deriváltja – az egyváltozós szélsőérték-számítás szabályai szerint – 0-val lesz egyenlő (a differenciálhatóságot a függvény minden pontjában feltételezzük):

\frac{\partial P(y_v + y_k)}{\partial y_k} \cdot y_k + P(y_v + y_k) - MC_k(y_k) = 0

MCk nem más, mint az összköltségfüggvény yk szerinti deriváltja, amit határköltségnek nevezünk.

Mivel a követő vállalat ismeri a vezető kibocsátását (yv-t), ezért ebben az egyenletben valójában egyetlen ismeretlen szerepel: yk; az egyenletet megoldva a követő megkapja a profitját maximalizáló kibocsátási szintet.

De úgy is fogalmazhatunk, hogy ez az egyenlet implicit módon meghatározza az y_k (y_v)\, függvényt, amit a követő vállalat reakciófüggvényének nevezünk. A reakciófüggvény megmutatja, hogy a vezető valamekkora kibocsátására mennyi a követő profitmaximalizáló kibocsátása.

A vezető döntése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A követő vállalathoz hasonlóan a vezető számára is saját profitjának maximalizálása a cél. A Stackelberg-duopólium jellemzői között feltettük, hogy a vezető vállalat ismeri a követő költségviszonyait, így a határköltségét (MCk) is. Ez számára nagyon fontos információ, mert lehetővé teszi, hogy a követő vállalathoz hasonlóan ő is le tudja vezetni a követő reakciófüggvényét. Így viszont képes arra, hogy nem csupán a saját kibocsátásáról, hanem – azzal együtt – a követőéről is döntsön; yk-nak pedig számára is van jelentősége, mert az az inverz keresleti függvény révén a piaci árat, így pedig a vezető profitját is befolyásolja.

Ez a pluszinformáció a vezető számára döntő jelentőségű; a lejjebbi példában látni fogjuk, hogy ezt (és a döntés elsőségének jogát) „pluszhatalomra”, piaci erőfölényre fogja váltani.

Írjuk fel a vezető vállalat profitját (az ár helyébe helyettesítsük mindjárt az inverz keresleti függvényt, a követő kibocsátásának helyébe pedig a reakciófüggvényt):

\pi _v = P(y_v + y_k(y_v)) \cdot y_v - C_v (y_v)

Ha a profit maximális, az yv szerinti deriváltja 0:

\frac{\partial \pi}{\partial y_v} = \frac{\partial P(y_v + y_k(y_v))}{\partial y_v} \cdot y_v + P(y_v + y_k(y_v)) - MC_v(y_v) = 0

Ebben az egyenletben csak yv az ismeretlen. Ha a vezető vállalat megoldja, megkapja a profitját maximalizáló kibocsátás értékét.

A reakciófüggvény, az egyenlőprofit-görbék és a Stackelberg-egyensúly.
(Megjegyzés: A reakciófüggvény általánosságban nem feltétlenül negatív meredekségű és lineáris. Elégséges feltétele ennek például, ha a keresleti függvény lineáris és negatív meredekségű, a követő határköltsége pedig konstans.)

Az egyensúly[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az imént levezetett yv és – a reakciófüggvényből származó – yk értékek mindkét vállalat profitját maximalizálják, feltéve, ha a másik is optimálisan dönt; más szóval, egyensúlyi állapotban vagyunk.

Grafikusan ez az egyensúly a követő vállalat reakciófüggvényének és a vezető egyenlőprofit-görbéinek érintési pontjaként szemléltethető. Ez utóbbiak olyan görbék, amelyeknek a pontjaihoz ugyanaz a profit tartozik. Tehát a vezető vállalat a követő reakciófüggvényéről a számára legnagyobb profitot biztosító pontot fogja választani.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy kisvárosban két fagylaltos „tevékenykedik”. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy mindketten csak egyféle fagylaltot (mondjuk csokit) árulnak, és a két „vállalat” fagylaltját senki sem tudja egymástól megkülönböztetni. Az általuk alkotott duopóliumra teljesülnek a Stackelberg-modell feltételei. Mindkét vállalat hetente hozza meg a kínálati döntését, de az egyikük később, mint a másik, így az egyik (a követő) meg tudja figyelni a másik (a vezető) döntését.

A fagylalt keresleti függvénye (a mennyiség egysége legyen 1 gombóc):

D(p) = 1600 - 8p\,

A vezető vállalat valamivel olcsóbban szerzi be az alapanyagot, így a határköltsége konstans 70 forint, míg a követőé konstans 80 forint.

Kérdések: Mennyi lesz az egyes vállalatok Stackelberg-egyensúlyi kibocsátása, valamint a piaci ár? Mennyi volna az összkibocsátás és az ár abban az esetben, ha a fagylaltnak versenyzői piaca lenne?

A reakciófüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A reakciófüggvényt implicit módon meghatározó egyenlet:

\frac{\partial P(y_v + y_k)}{\partial y_k} \cdot y_k + P(y_v + y_k) - MC_k(y_k) = 0

Az inverz keresleti függvény levezetése:

\begin{matrix} D(p) = 1600 - 8p \\
8p = 1600 - D(p) \\
p = 200 - \frac{1}{8} \cdot D(p) = 200 - \frac{1}{8} \cdot (y_v + y_k) = P(y_v + y_k) \end{matrix}

Mivel \frac{\partial P(y_v + y_k)}{\partial y_k} = -\frac{1}{8}, ezért behelyettesítve a fenti egyenletbe:

\begin{matrix} -\frac{1}{8} \cdot y_k + 200 - \frac{1}{8} \cdot (y_v + y_k) - 80 = 0 \\
120 - \frac{1}{8} \cdot y_v = \frac{1}{4} \cdot y_k \\
480 - \frac{1}{2} \cdot y_v = y_k \end{matrix}

Megkaptuk a követő vállalat reakciófüggvényét.

A vezető döntése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A vezető profitmaximalizáló kibocsátása ennek az egyenletnek a megoldásával egyenlő:

\frac{\partial P(y_v + y_k(y_v))}{\partial y_v} \cdot y_v + P(y_v + y_k(y_v)) - MC_v(y_v) = 0

Helyettesítsük be a reakciófüggvényt:

\frac{\partial P(y_v + 480 - \frac{1}{2} \cdot y_v)}{\partial y_v} \cdot y_v + P(y_v + 480 - \frac{1}{2} \cdot y_v) - MC_v(y_v) = 0
\frac{\partial P(\frac{1}{2} \cdot y_v + 480)}{\partial y_v} \cdot y_v + P(\frac{1}{2} \cdot y_v + 480) - MC_v(y_v) = 0

Helyettesítsük be az inverz keresleti függvényt és a határköltséget:

\frac {\partial (200 - \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2} \cdot y_v + 480))} {\partial y_v} \cdot y_v + 200 - \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2} \cdot y_v + 480) - 70 = 0
\frac {\partial (140 - \frac{1}{16} \cdot y_v)} {\partial y_v} \cdot y_v + 70 - \frac{1}{16} \cdot y_v = 0

A bal oldalon lévő derivált -\frac{1}{16}-dal egyenlő:

-\frac{1}{16} \cdot y_v + 70 - \frac{1}{16} \cdot y_v = 0

Amiből:

\begin{matrix} 70 = \frac{1}{8} \cdot y_v \\
560 = y_v \end{matrix}

Az egyensúly[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A vezető vállalat profitmaximalizáló kibocsátása tehát 560 gombóc fagylalt hetente. A követőé pedig 200 gombóc, mert

y_k (y_v) = 480 - \frac{1}{2} \cdot y_v = 480 - \frac{1}{2} \cdot 560 = 200.

Látható, hogy a vezető és a követő vállalat kibocsátása – ezáltal pedig a piaci részesedésük, „hatalmuk” – között lényeges eltérés van. Ez két okkal magyarázható:

  1. a vezető vállalat abból eredő „pluszhatalmával”, hogy tudja, hogy a követő ismerni fogja a kibocsátását, így közvetve ő dönthet yk-ról is;
  2. a követő vállalat magasabb költségeivel.

Belátható, hogy ha a két vállalat határköltsége egyenlő volna, akkor a vezető kibocsátása éppen kétszerese lenne a követőének.

A piaci árat az összkibocsátásnak az inverz keresleti függvénybe való helyettesítésével kaphatjuk meg:

p = P(760) = 200 - \frac{1}{8} \cdot 760 = 105

A versenyzői piaccal való összehasonlítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a fagylalt piacát tökéletes verseny jellemezné, akkor az egyensúlyi ár-kibocsátás kombináció a piaci keresleti függvény és a határköltséggörbe metszéspontjában lenne. (Versenyzői piacon a kínálati függvény egybeesik a határköltség görbéjével.) A versenyző vállalatok határköltsége 70 forint lenne, mert a versenyzői piacon minden információ nyilvános, így hosszú távon minden vállalat a kisebb költségű alapanyag-beszerzésre állna át.

Tegyük egyenlővé az inverz keresleti függvényt és a határköltséget:

\begin{matrix} P(y) = MC(y) \\
200 - \frac{1}{8} \cdot y = 70 \\
y = 1040 \end{matrix}

Az ár pedig a határköltséggel, vagyis 70-nel lenne egyenlő.

Hasonlítsuk össze az összkibocsátást és az árat Stackelberg-duopólium, illetve versenyzői piac esetén:

Stackelberg-duopólium Versenyzői piac
Összkibocsátás 760 1040
Ár 105 70

Látszik, hogy Stackelberg-duopólium esetén a kibocsátás alacsonyabb, az ár pedig magasabb, mint a versenyzői piacon. A Stackelberg-duopólium a tökéletes versenyhez képest a javak kevésbé hatékony elosztását tudja csak biztosítani.

Viszont az is belátható, hogy a Stackelberg-duopólium hatékonyabb, mint a Cournot-duopólium és a monopólium.

A hatékonyságveszteség számszerűen is kifejezhető, ha meghatározzuk az úgynevezett holtteherveszteséget, a vásárlók kieső fogyasztói többletének és a vállalatok kieső termelői többletének összegét. A holtteherveszteség képlete, ha a keresleti és a határköltségfüggvény is lineáris:

HTV = \frac{\Delta p \cdot \Delta y}{2}

\Delta p\, a Stackelberg-duopólium és a versenyzői piac árának különbségét, \Delta y\, pedig a két kibocsátás különbségét jelöli. Jelen esetben:

HTV = \frac{(105-70) \cdot (1040-760)}{2} = \frac{35 \cdot 280}{2} = 4900

A Stackelberg-modellből eredő heti holtteherveszteség tehát példánkban 4900 forint.

A Stackelberg-játék extenzív alakja (a számok a fenti példából származnak)

A Stackelberg-duopólium mint játék[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Stackelberg-duopóliumot a játékelmélet olyan tökéletes információs játékként fogja fel, amelyben a két játékos a vezető és a követő vállalat. Elsőként a vezető lép, megválasztva kibocsátási szintjét, majd a követő van soron, aki, miután megfigyelte a vezető döntését, határoz a saját kibocsátásáról. Ezután a játékosok megkapják a kifizetésüket (a profitjukat), és a játéknak vége. A Stackelberg-egyensúly a játék tiszta stratégiákon alapuló Nash-egyensúlya lesz.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Robert Gibbons: Bevezetés a játékelméletbe. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2005
  • Hal R. Varian: Mikroökonómia középfokon. Egy modern megközelítés. KJK-KERSZÖV Jogi és Üzleti Kiadó, Budapest, 2003