Rolle-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Rolle tétele szócikkből átirányítva)

A matematikai analízisben a Rolle-tétel vagy Rolle-féle középértéktétel az egyik fontos és gyakran alkalmazott tétel, ami egy intervallumon értelmezett differenciálható függvény „vízszintes” érintőjének (azaz a derivált zérushelyének) létezésére ad elégséges feltételt.

A tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ábra Rolle tételéhez

Ha az f függvény folytonos az [a,b] intervallumban, differenciálható az intervallum belső pontjaiban és

f(a)=f(b),

akkor van olyan a<c<b szám, hogy

f'(c)=0

teljesül.

Bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az f függvény az (a,b) intervallumon végig az f(a)=f(b) értéket veszi fel, akkor konstans, tehát deriváltja mindenütt 0.

Tegyük fel, hogy egy pontban f értéke ettől eltér. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy ez az érték nagyobb f(a)=f(b)-nél (ellenkező esetben ugyanezt a gondolatmenetet a -f függvényre kell alkalmaznunk). A Weierstrass-tétel szerint a függvény az [a,b] intervallumban valahol felveszi maximumát. Legyen c egy ilyen pont. c nem lehet a-val vagy b-vel egyenlő, mert akkor lenne nála nagyobb értékű hely, ami ellentmond f(c) maximális tulajdonságának. Mivel f a c-ben (mely az értelmezési tartomány belső pontjában van) differenciálható és ott maximuma van, ezért a szélsőértékekre vonatkozó Fermat-tétel miatt ott a deriváltja 0.

Általánosításai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Rolle-tétel érvényes tetszőleges intervallumon értelmezett differenciálható függvény esetén is, amennyiben a két végpont függvényértékének egyenlőségét a határértékek egyenlősége váltja fel.

Tétel – Az f : I\rightarrowR intervallumon értelmezett, belül differenciálható függvény esetén létezik olyan ξI pont, hogy f '( ξ ) = 0, feltéve, hogy létezik az limα f és limβ f határérték és limα f = limβ f , ahol α és β a I két végpontja.

Bizonyítás. Indirekt módon tegyük fel, hogy minden x ∈ int( I ) belső pont esetén f '(x) > 0 vagy f '(x) < 0. Ekkor speciálisan az is igaz, hogy minden x ∈ int( I )-re f '(x) > 0 vagy minden x ∈ int( I )-re f '(x) < 0, ugyanis ha lenne a < b int( I )-beli elem, hogy f '(a) és f '(b) ellenkező előjelű (nem nulla), akkor a Darboux-tételt alkalmazva lenne olyan c pont az [a,b] zárt halmazon, hogy f '(c) = 0, ami ellentmond az indirekt feltételnek. Ha ezzel szemben f az int( I ) halmazon állandó előjelű, akkor szigorúan monoton, ami meg annak mond ellent, hogy limα f = limβ f, tehát mindenképpen ellentmondásra jutunk.

Ilyen például az

x\mapsto e^{-x^2}

függvény.

Egy másik általánosítás a differenciálhatósági feltételen lazít.

Tétel – Ha az f : [a,b]\rightarrowR korlátos, zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény olyan, hogy f(a) = f(b) és az I minden belső pontjában vagy differenciálható f, vagy a különbségi hányadosnak létezik +∞ vagy -∞ értékű határértéke, akkor létezik olyan ξ ∈ int( I ) pont, hogy f '( ξ ) = 0.

Ilyen például a [-2,2]-n értelmezett

x\mapsto \mathrm{sgn}(1-x^2)\sqrt{|1-x^2|}

függvény.

A tétel fontos általánosítása még a Lagrange-féle középértéktétel is, mely (a tétel jelöléseivel)

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

meredekségű érintő létezésére ad elégséges feltételt (f(b)=f(a) esetén persze megkapjuk a Rolle-tételt).

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]