Reductio ad absurdum

A reductio ad absurdum (latin: visszavezetés az abszurdra) az érvelés egy formája, amely során az érvelő a vita kedvéért elfogad egy állítást, megmutatja, hogy valamilyen képtelenség következik belőle, és ebből arra jut, hogy az állítás mégse volt igaz.

Ez a fajta érvelés a kontrapozíció nevű érvelési séma speciális esete (ld. még: Következtetési sémák a formális logikában/Kontrapozíció).

Logikai megfelelőjének a következő szabályokat szokás tekinteni:

$\begin{array}{rcl} \scriptstyle \Gamma, A &\scriptstyle \Rightarrow & \scriptstyle B \\ \scriptstyle \Gamma,A & \scriptstyle\Rightarrow &\scriptstyle \lnot B \\ \hline \scriptstyle \Gamma & \scriptstyle \Rightarrow & \scriptstyle A \end{array} \qquad \qquad \begin{array}{rcl} \scriptstyle \Gamma, A &\scriptstyle \Rightarrow & \scriptstyle \bot \\ \hline \scriptstyle \Gamma & \scriptstyle\Rightarrow &\scriptstyle \lnot A \end{array}$

Itt $\scriptstyle \Gamma$ kijelentések egy halmaza, $\scriptstyle A$ és $\scriptstyle B$ pedig tetszőleges kijelentések, $\scriptstyle \bot$ pedig az ellentmondásnak megfelelő logikai konstans.

A matematikai logikában a kizárt harmadik elvének kell teljesülnie, hogy ez a fajta következtetés alkalmazható legyen. Az ilyen matematikai bizonyítások végét gyakran jelölik az informális villám (U+21AF: ↯) szimbólummal.

Retorikailag hasonló, de logikai értelemben nem feltétlen helyes érvelés a reductio ad ridiculum, amikor egy olyan következtetést vezetnek le az állításból, ami nem mindenkinek, hanem csak a hallgatóság számára abszurd.

Példák

• Klasszikus példa Euklidész bizonyítása a prímek végtelenségére. Tételezzük fel, hogy a természetes számok között csak véges sok prím van, és jelöljük őket $p_1 \ldots p_n$-nel. Ekkor a $p = (p_1 \cdots \ldots \cdots p_n) + 1$ szám nem lehet prím, mert minden prímnél nagyobb, ugyanakkor összetett sem lehet, mert mindegyik prímmel 1 maradékot ad. Ellentmondásra jutottunk, így a prímek száma nem lehet véges.
• Egy másik klasszikus, a görög matematikából származó példa a gyök kettő irracionalitása: tegyük fel, hogy a gyök kettő racionális, azaz vannak olyan a és b egész számok, hogy $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$. Ekkor $2 = \frac{a^2}{b^2}$, azaz $2b^2 = a^2\,$, ami ellentmondás, mert a 2 az egyik oldalon páros, a másikon páratlan kitevővel szerepel.
• Egy kocka nem bontható fel véges sok, páronként különböző kisebb kockára. Ha ugyanis felbontható lenne, akkor az alsó lapján a legkisebb kockát véve, annak csupa önmagánál nagyobb szomszédja lenne, így a rajta lévő kocka sem lehetne nagyobb nála, ami ellentmond annak, hogy a legkisebb kockát vettük.

A fenti példák mind valaminek a nemlétét bizonyítják. Ha elfogadjuk a kizárt harmadik axiómáját, akkor valaminek a léte is bizonyítható hasonló módon; a fixponttétel példa egy ilyen bizonyításra. Egyes matematikai iskolák, például az intuicionizmus, elvetik a kizárt harmadik elvét, és vele a reductio ad absurdumon alapuló egzisztenciabizonyításokat is.

Lásd még

• modus tollens
• indirekt bizonyítás
• végtelen leszállás
• reductio ad Hitlerum

Források

• Imre Ruzsa. Bevezetés a modern logikába. Budapest: Osiris Kiadó (2000). ISBN 963 379 978 3