Menelaosz-tétel

Ábra a Menelaosz-tételhez

Menelaosz-tétel: Ha egy tetszőleges ABC háromszögben MEN egy egyenes úgy, hogy ez az egyenes átszeli a CA, BC oldalakat, illetve az AB oldal meghosszabbítását, akkor teljesül a következő állítás:

${\frac {AM}{MC}}\cdot {\frac {CE}{EB}}\cdot {\frac {BN}{NA}}=-1$

A tétel bizonyítása

Bizonyítás: $AC$ oldallal párhuzamost húzunk $B$-ből, ez $MEN$ egyenest egy $F$ pontban metszi.

Ekkor:

$\bigtriangleup AMN\sim \bigtriangleup BFN$

$\longrightarrow {\frac {AM}{BF}}={\frac {NA}{NB}}$

és

$\bigtriangleup CEM\sim \bigtriangleup BEF$

$\longrightarrow {\frac {CE}{EB}}={\frac {MC}{BF}}$

Ezeket összeszorozva:

${\frac {AM}{BF}}\cdot {\frac {CE}{EB}}={\frac {NA}{NB}}\cdot {\frac {MC}{BF}}$.

${\frac {AM}{MC}}\cdot {\frac {CE}{EB}}\cdot {\frac {NB}{NA}}=1$

De $NB=-BN$

${\frac {AM}{MC}}\cdot {\frac {CE}{EB}}\cdot {\frac {BN}{NA}}=-1$