Menelaosz-tétel

Ábra a Menelaosz-tételhez

A Menelaosz-tétel az alexandriai Menelaosz ógörög matematikus által felhasznált tételek egyike. Valójában ő csak a gömbháromszögekről írott művében csak említést tesz róla, de nála korábbi munkákban nem találkozunk vele, így őt tekintjük a tétel felállítójának.

Tétel

Ha egy tetszőleges ABC háromszög oldalegyenesére illeszkedő M, E és N pontok egy egyenesen vannak, akkor és csak akkor

${\frac {AM}{MC}}\cdot {\frac {CE}{EB}}\cdot {\frac {BN}{NA}}=-1$

A tétel bizonyítása

Bizonyítás

$AC$ oldallal párhuzamost húzunk $B$-ből, ez $MEN$ egyenest egy $F$ pontban metszi. Ekkor:

$\bigtriangleup AMN\sim \bigtriangleup BFN\Rightarrow {\frac {AM}{BF}}={\frac {NA}{NB}}$

és

$\bigtriangleup CEM\sim \bigtriangleup BEF\Rightarrow {\frac {CE}{EB}}={\frac {MC}{BF}}$

Ezeket összeszorozva kapjuk:

${\frac {AM}{BF}}\cdot {\frac {CE}{EB}}={\frac {NA}{NB}}\cdot {\frac {MC}{BF}}$.

${\frac {AM}{MC}}\cdot {\frac {CE}{EB}}\cdot {\frac {NB}{NA}}=1$

De $NB=-BN$, ezért ${\frac {AM}{MC}}\cdot {\frac {CE}{EB}}\cdot {\frac {BN}{NA}}=-1$- QED