Menelaosz-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ábra a Menelaosz-tételhez

Menelaosz-tétel: Ha egy tetszőleges ABC háromszögben MEN egy egyenes úgy, hogy ez az egyenes átszeli az CA, BC oldalakat , illetve a AB oldal meghosszabítását, akkor teljesül a következő állítás:

\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BN}{NA} = -1

A tétel bizonyítása

Bizonyítás: AC oldallal párhuzamost húzunk B-ből, ez MEN egyenest egy F pontban metszi.

Ekkor:

\bigtriangleup AMN \sim \bigtriangleup BFN

\longrightarrow \frac{AM}{BF} = \frac{NA}{NB}

és

\bigtriangleup CEM \sim \bigtriangleup BEF

\longrightarrow \frac{CE}{EB} = \frac{MC}{BF}

Ezeket összeszorozva:

\frac{AM}{BF}\cdot \frac{CE}{EB} = \frac{NA}{NB}\cdot \frac{MC}{BF}.

\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{NB}{NA} = 1

De NB = - BN

\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BN}{NA} = -1