Martingál

A valószínűség-számítás elméletében a martingál a korrekt játék modellje, ahol a korábbi események sohasem segítik a jövőbeli nyerést. A martingál valószínűségi változók sorozata, ahol egy adott időben a sorozat következő értékének valószínűsége egyenlő az éppen megfigyelt értékkel.

Ezzel ellentétben, ha egy folyamat nem martingál, akkor a következő időpontban bekövetkező várható érték egyenlő lehet az előző folyamat várható értékével, de az előző kimenetel ismerete csökkentheti a jövőbeli kimenet bizonytalanságát. A jövőbeli kimenetel várható értéke az előzők ismerete birtokában magasabb lehet, mint a jelen kimenetel, ha nyerő stratégiát használunk. A martingál kizárja azt a nyerő stratégiát, mely egy játék előzetes történetére alapozódik, így a martingál a korrekt (fair) játék modellje.

Történet

Eredetileg a martingál egy fogadási stratégiára utalt, mely népszerű volt Franciaországban a 18. században. A legegyszerűbb stratégia, amikor a szerencsejátékos pénzfeldobáskor fogad a ’fej’-re vagy az ’írás’-ra. A szerencsejátékos minden vesztés után megduplázza a tétet, ezért az első nyeréskor visszanyeri a veszteségét, plusz az eredeti tétet. Ha a szerencsejátékos vagyona és ideje tart a végtelenhez, akkor a nyerés valószínűsége az 1-hez tart, mely azt a látszatot adja, hogy a nyerés biztos. A valóságban a fogadások exponenciális növekedési jellege esetenként tönkreteszi a szerencsejátékost, mivel véges pénzzel rendelkezik. (ezért működnek kaszinók, és fogadási határértékek is).

A martingál elméletet Paul Pierre Lévy (1886 – 1971), francia matematikus vezette be a valószínűség-számítás elméletébe. A motivációja része volt annak, hogy megmutassa a sikeres fogadási stratégia lehetetlenségét.

Defiínió

A diszkrét idejű martingál egy diszkrét sztochasztikus folyamat, vagyis valószínűségi változók sorozata (X₁, X₂, X₃, ... bármely n időben)

$\mathbf{E} ( \vert X_n \vert )< \infty$

$\mathbf{E} (X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n)=X_n,$

Ez a következő megfigyelés feltételes várható értéke, ha az összes múltbeli megfigyelés valószínűsége egyenlő a legutolsóval. A várható érték linearitását figyelembe véve, a második követelmény egyenlő:

$\mathbf{E} (X_{n+1} - X_n \mid X_1,\ldots,X_n)=0$ or $\mathbf{E} (X_{n+1} \mid X_1,\ldots,X_n)- X_n=0$

mely azt állítja, hogy az átlagos ’nyerés’ az $n$ időben az$n+1$-re = 0, vagyis nem függ tőle.

Példák

• Véletlenszerű mozgások
• A fair szerencsejátékok

Irodalom

• Hazewinkel, Michiel, ed.: "Martingale", Encyclopedia of Mathematics. Springer. 2001. ISBN ISBN 978-1-55608-010-4

Kapcsolódó szócikkek

• Brown-mozgás
• Markov-lánc

• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűség-számítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika