L’Hospital-szabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben L’Hospital-szabálynak (ejtsd: [lopitál]) nevezik (Guillaume de l'Hôpital francia matematikus nyomán) a határérték-számítás egyik módszerét. Segítségével és a differenciálszámítás felhasználásával sok esetben kiszámítható a határérték akkor is, ha a függvényműveletek kritikus alakú határértékhez (például \mbox{ }_{\frac{0}{0}}, 0^0 stb.) vezetnek, azaz ha egyszerű határérték-számítási szabályok nem adnak eredményt.

Ilyen esetekben a L’Hospital-szabály szerint érdemes a függvényt hányadosként felírni, és ha mind a számláló, mind a nevező differenciálható, továbbá a deriváltak hányadosának van határértéke a vizsgált helyen véve, akkor ezzel a határértékkel megegyezik a keresett határérték.

A szabály alapgondolata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy algebrai tört határértékproblémája esetén, például a

\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}

határérték esetén a \mbox{ }_{\frac{0}{0}} kritikus alak eltűnik, ha az (x-1) polinomot kiemeljük a számlálóból is és a nevezőből is (hiszen mindegyiknek gyöke az 1 szám). Ekkor behelyettesítéssel már kiszámíthatóvá válik a határérték:

\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x-1}{x+1}=\frac{0}{2}=0

Bonyolultabb függvényeknél, hasonló esetben, például a

\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}

határértéknél a fenti módon nem tudjuk megszüntetni a 0-val való osztást. Hogy mód nyíljon valamiféle egyszerűsítésre esetünkben is, írjuk fel a függvényeket hatványsor alakban, azaz Taylor-sor formájában, így hasonlatosakká válnak a polinomokhoz.

f(x)=\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cfrac{x^n}{n!}-1}{\sum\limits_{k=0}^{\infty}\cfrac{x^{2k+1}(-1)^{k}}{(2k+1)!}
}=\frac{x+\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{6}+...}{x-\cfrac{x^3}{6}+\cfrac{x^5}{120}-...}=\frac{1+\cfrac{x}{2}+\cfrac{x^2}{6}+...}{1-\cfrac{x^2}{6}+\cfrac{x^4}{120}-...}

Rögzített x szám esetén a sorok összegének homogén tulajdonsága folytán kiemeltük x-et, majd a törtet egyszerűsítettük. Ekkor a határértékképzés és az összegzés felcserélhetősége miatt adódik, hogy:

\mbox{ }_{\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{1}=1}

Tekintve, hogy a sor konstans tagja tűnt el és az elsőfokú tag együtthatója jelent meg konstansként, a hányados határértéke a deriváltak határéréke lett (hiszen a Taylor-sor elsőfokú tagjának együtthatója nem más, mint a függvény adott pontbeli deriváltja).

Az egyszerű L’Hospital-szabály[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nem kell feltennünk, hogy a függvény (mint az előző példában is) analitikus legyen. Elegendő a differenciálhatóság megkövetelése.

TételEgyszerű L’Hospital-szabály – Legyen f és g olyan valós-valós függvény és u olyan pont, hogy f és g differenciálható u-ban, de g'(u) nem 0 és legyen u torlódási pontja az f/g függvény értelmezési tartományának. Ha f(u) = g(u) = 0, akkor f/g-nek létezik határértéke u-ban és

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)}{g'(u)}

Bizonyítás. Mind f, mind g a differenciálhatóság definíciója alapján felírható az u pont körül a következő alakban:

f(x)=f(u)+f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)
g(x)=g(u)+g'(u)(x-u)+\eta(x)(x-u)\,

ahol ε és η az u pontban folytonos és ott eltűnő függvények. Tetszőleges x pontra az f/g értelmezési tartományából felírható a következő hányados:

\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)}{g'(u)(x-u)+\eta(x)(x-u)}=\frac{f'(u)+\varepsilon(x)}{g'(u)+\eta(x)}

hiszen f(u) = g(u) =0 és x-u-val egyszerűsíthetünk. Ekkor az ε és η u-beli 0 határértékei folytán:

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)}{g'(u)}

Ismételt „L’Hospitálás”[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Előfordulhat, hogy u-ban a deriváltak is nullával egyenlők. Ekkor a L’Hospital-szabályt újból kell alkalmaznunk. Ha például f és g n+1-szer differenciálható u-ban, de egészen az n-edik deriváltig az összes magasabbrendű derivált 0, akkor (a szabály feltételeinek teljesülése esetén):

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{(n+1)}(u)}{g^{(n+1)}(u)}

Erős L’Hospital-szabály[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

TételErős L’Hospital-szabály – Ha I nyílt intervallum, u az I torlódási pontja, az f és g függvények I \ {u}-n értelmezett n+1-szer differenciálható függvények, g(n+1) nem veszi föl a 0 értéket és minden k = 0,…,n számra limuf (k) = limug(k) = 0, továbbá létezik a \mbox{ }_{\lim\limits_{x\to u}\frac{f^{(n+1)}(x)}{g^{(n+1)}(x)}}, akkor létezik az alábbi határérték és a következővel egyenlő:

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to u}\frac{f^{(n+1)}(x)}{g^{(n+1)}(x)}