Kardinális szám
A különféle végtelenekkel szembesülve Georg Cantor (1845–1918) orosz születésű német matematikus bevezette a (szám)halmazokra vonatkozó kardinális szám fogalmát, ezzel tett különbséget közöttük.
Kardinális szám
Egy halmaz kardinális száma, más szóval számossága nagyjából azonos az elemszámával. Például az {a, b, c, d, e} halmaznak 5 a kardinális száma, mivel 5 eleme van.
Cantor az halmaz kardinális számát א0-lal (alef-null) jelölte (az alef a héber ábécé első betűje). Az א0 változatlanul használatos azóta, hogy Cantor bevezette.
Az R halmaz kardinális számát c-vel (c a continuum szó latin megfelelője, a continuum szó kezdőbetűjével) jelöljük.
Mivel N végtelensége alacsonyabb rendű, mint R-é, ezért fennáll, hogy א0 < c.
Kardinális szám és a kontinuumhipotézis
Van kardinális szám א0 és c között?
A hagyományos aritmetikában két tört között mindig van egy közbülső harmadik. Ha csak egész számok közötti egyenlőtlenségekre szorítkozunk, akkor nem szúrhatunk be közéjük mindig egy harmadik számot: pl. 2<3, közöttük nincs másik egész szám.
A kontinuumhipotézis szerint nincs kardinális szám א0 és c között, más szóval az א0 után c a "következő" kardinális szám. Cantor megpróbálta bebizonyítani a kontinuumhipotézist, de sokévi próbálkozás után sem járt sikerrel.
Kurt Gödel úgy gondolta, hogy ez a hipotézis hamis, de neki sem sikerült egyedül a bizonyításig eljutnia, végül egy amerikai kollégájával, Paul Cohennel együtt bebizonyították: a halmazelmélet szokásos keretei között a kontinuumhipotézist sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet. Ezt úgy is szokták mondani, hogy a kontinuumhipotézis független a halmazelméletet leíró szokásos axiómáktól.
Ez egy bizonyos határpont volt. Addigra kiderült, hogy sok különféle típusú geometria létezik. A kontinuumhipotézis függetlensége rávilágított, hogy halmazelméletből is többféle létezhet.
Irodalom
- Tony Crilly: Nagy kérdések, Matematika. (hely nélkül): Geographia Kiadó. 2007. 62–63. o.
Kapcsolódó szócikkek
- Kontinuumhipotézis
- Halmazelmélet
- Cantor-paradoxon
- Cantor-tétel
- Átlós eljárás
- Geometria
- Axióma
- Az aritmetika alapjai