Egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Ha két szám vagy kifejezés a > (nagyobb), < (kisebb), ≠ (nem egyenlő), ≥ (nagyobb vagy egyenlő), ≤ (kisebb vagy egyenlő) jelek valamelyikével van összekapcsolva, akkor azt egyenlőtlenségnek nevezzük. Rendezett testek fölött mindegyik iránynak van értelme, egyébként csak ≠ értelmű egyenlőtlenségek írhatók fel.

Az egyenlőtlenségek az egyenletekhez hasonlóan osztályozhatók. A csak algebrai kifejezéseket és számokat tartalmazó egyenlőtlenségek algebraiak, a többi egyenlőtlenség transzcendens. A transzcendens egyenlőtlenségeket tovább osztályozzák a bennük levő nem algebrai kifejezések szerint, így beszélnek trigonometrikus, logaritmusos vagy exponenciális egyenlőtlenségekről. Ha egy egyenlőtlenségben több változó is szerepel, akkor az egyenlőtlenség több változós.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1. Ha az egyenlőtlenség két oldalát felcseréljük, annak értelme ellenkezőre változik:

ha a > b, akkor b < a.

2. Tranzitív tulajdonság:

ha a > b és b > c, akkor a > c.

3. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát tetszés szerinti számmal növeljük vagy csökkentjük, annak értelme nem változik:

ha a > b, akkor a + c > b + c és ac > bc, vagy
ha a < b, akkor a + c < b + c és ac < bc.

4. Megegyező értelmű egyenlőtlenségek bal és jobb oldalait külön-külön összeadva, az egyenlőtlenség értelme nem változik meg:

ha a > b és c > d, akkor a + c > b + d, vagy
ha x < t és y < u, akkor x + y < t + u.

5. Két ellentétes értelmű egyenlőtlenség bal és jobb oldalait egymásból kivonva a kisebbítendővel megegyező értelmű egyenlőtlenséget kapunk:

ha a > b és c < d, akkor ac > bd, vagy
ha a < b és c > d, akkor ac < bd.

6. Az egyenlőtlenség értelme nem változik, ha mindkét oldalát egy tetszés szerinti pozitív számmal megszorozzuk vagy elosztjuk:

ha a > b és m > 0, akkor am > bm és \frac{a}{m} > \frac{b}{m}.

7. Az egyenlőtlenség értelme ellentétére változik, ha mindkét oldalt egy tetszőleges negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk:

ha a > b és n < 0, akkor an < bn és \frac{a}{n} < \frac{b}{n}.

8. Ha az egyenlőtlenség két oldalának előjele megegyezik, a két oldal reciprokát véve az egyenlőtlenség értelme ellenkezőjére változik:

ha a > b > 0, , akkor \frac{1}{a} < \frac{1}{b}, valamint
ha a < b < 0, akkor \frac{1}{a} > \frac{1}{b}.

9. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalán pozitív értékű mennyiség szerepel, akkor mindkét oldal tetszőleges pozitív egész kitevőjű hatványát véve, vagy mindkét oldalból tetszőleges pozitív egész gyökkitevőjű gyököt vonva, az egyenlőtlenség értelme nem változik:

a > b > 0 és n > 0 egész szám, akkor a^n > b^n és \sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}

10. Ha ugyanazt a monoton függvényt alkalmazzuk mindkét oldalra, akkor az egyenlőtlenség iránya megmarad, ha a függvény monoton nő, és megfordul, ha monoton csökken.

Nevezetes egyenlőtlenségek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Komplex számok és vektorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A komplex számok nem alkotnak rendezett testet, mivel a –1 felírható négyzetösszegként. A lexikografikus rendezésekre viszont teljesül, hogy ha ab akkor a + cb + c. Ugyanez a szorzásra már nem igaz.

A komplex számokhoz hasonlóan az egynél magasabb dimenziós vektorok sem rendezhetők, de a lexikografikus rendezéseknek megvannak a komplex számok körében is teljesülő tulajdonságai. A szorzásra való viselkedés vizsgálatához inverzekre is szükség lenne, amik egy általános vektortérben nincsenek.

Meg kell jegyezni, hogy a lexikografikus rendezés nem trikhotóm.

Egyenlőtlenség-rendszerek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha több egyenlőtlenség közös megoldásait keressük, akkor egyenlőtlenség-rendszerekhez jutunk. Itt legtöbbször több változós algebrai egyenlőtlenségekről van szó. Ezek az egyenlőtlenség-rendszerek a kombinatorikus optimalizálás és az operációkutatás területén fontosak, ahol is az algebrai egyenletrendszerek megoldáshalmazán optimalizálnak.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]