A hatványközepek közötti egyenlőtlenség azt állítja, hogy ha
nemnegatív valós számok, akkor
esetén p-edik hatványközepük legfeljebb akkora, mint a q-adik, azaz
ahol
-ra
Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha
.
A
értékre is definiálhatjuk a
mennyiséget, ugyanis
a mértani közép. Az egyenlőtlenségből határátmenettel adódik
, azaz a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség.
Alább általánosabban, súlyozott hatványközepekre látjuk be a tételt.
Legyenek
nemnegatív valósok, és
pozitív súlyok, melyekre
, valamint
, hogy
.
Ekkor az
szigorú konvexitása miatt a Jensen-egyenlőtlenség szerint
,
ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha
;
-adik gyököt vonva, kihasználva a gyökvonás szigorú monotonitását
,
ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha
.
Ha
, a bizonyítás igen hasonlóan megy.
Ha
, akkor az előzőleg belátott monotonitásokat felhasználva, és figyelembe véve, hogy
létezik, adódik, hogy
, ahonnan
.
Kiterjesztés függvény intervallumon vett hatványközepére
[szerkesztés]
Ha
függvény
intervallumon Riemann-integrálható, akkor
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {b-a}{n}}f^{q}\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)=\int _{a}^{b}f^{q}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d726ad3aaa255c6c1b9c736a8b82e5121fc1eae)
ahonnan, ha
az előzőek szerint:
![{\displaystyle \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f^{p}(x)dx\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}f^{p}\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {b-a}{n}}f^{q}\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\right)^{\frac {1}{q}}=\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f^{q}(x)dx\right)^{\frac {1}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202d391f5c69b0a5dcb5736ac1e1df2a366f54a3)