Elliptikus integrál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az elliptikus integrál fogalma onnan ered, hogy eredetileg egy ellipszis (görbe) ívhosszának a problémáját vizsgálták; ezzel Giulio Fagnano és Leonhard Euler matematikusok foglalkoztak először.

Az elliptikus integrált f függvényként, a következőképpen definiálják:

 f(x) = \int \limits _{c}^{x} R \left(t, \sqrt{P(t)} \right) \, dt

ahol R egy racionális függvény két argumentummal, P egy 3-ad- vagy 4-edrendű polinom, és c egy konstans.

Általában az elliptikus integrált nem lehet elemi függvényekkel kifejezni.

Ez alól kivétel, ha P ismétlődő gyökökkel rendelkezik, vagy ha R(x,y) nem tartalmazza y páratlan hatványait.

Megfelelő redukciós képlettel, minden elliptikus integrál olyan formába hozható, amelyekben racionális függvényeket tartalmazó integrálok vannak, és Legendre kanonikus képlete. A Legendre képlet mellett, az elliptikus integrál kifejezhető Carlson szimmetrikus formájában is. Történetileg az elliptikus-függvényt az elliptikus integrál inverz függvényeként fedezték fel.

Argumentum jelölés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az elliptikus integrál két argumentum függvénye. Ezeket az argumentumokat sokféle teljesen ekvivalens módon kifejezni, (mind ugyanazt az elliptikus integrált jelöli).

Az egyik argumentum kifejezése:

  • α, a moduláris szög
  • k = sin α, az elliptikus modulus, vagy excentricitás;
  • m = k2 = sin2α}}, a paraméter.

Bármely fenti mennyiség teljes mértékben meghatározza bármely másik kettőt (feltéve, ha azok nem negatívak). Így ezek felcserélhetők, vagylagosan alkalmazhatok.

A másik argumentum, az amplitudó, φ, vagy x vagy u, ahol x = sin φ = sn u és sn az egyik Jacobi-féle elliptikus függvény. Bármely mennyiség értékének specifikálása, meghatározza a többit. u is függ m -től. További összefüggések:

\cos \varphi = \textrm{cn} \; u, \qquad \textrm{} \qquad \sqrt{1 - m \sin^2 \varphi} = \textrm{dn}\; u.

Az utóbbit néha delta amplitudónak is hívják, és Δ(φ)= dn u-nek írják.

Elsőfajú inkomplett elliptikus integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az elsőfajú inkomplett elliptikus integrál, F definíciója:

 F(\varphi,k) = F(\varphi \,|\, k^2) = F(\sin \varphi ; k) = \int_0^\varphi \frac {d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}.

Ez az integrál trigonometrikus formája; behelyettesítve a  t=\sin \theta, x=\sin \varphi -t, megkapjuk a Jacobi-féle képletet:

 F(x ; k) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2 t^2)}}.

Ezzel egyenlő, amplitudóval, és moduláris szöggel kifejezve:

 F(\varphi \setminus \alpha) = F(\varphi, \sin \alpha) = \int_0^\varphi \frac{d \theta}{\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha)^2}}.

Jelölésünkben, a függőleges vonal, mint delimiter, jelzi, hogy a következő argumentum a “paraméter”, míg a visszaper-karakter jelzi, hogy ez a moduláris szög. A pontos vessző jelzi, hogy az előző argumentum, az amplitudó szinusza:

 F(\varphi, \sin \alpha) = F(\varphi \,|\, \sin^2 \alpha) = F(\varphi \setminus \alpha) = F(\sin \varphi ; \sin \alpha).

x = \textrm{sn}(u;k) -nel kapjuk:

F(x;k) = u;

azaz, a Jacobi-féle elliptikus függvények az elliptikus integrálok inverzei.

Másodfajú inkomplett elliptikus integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A másodfajú inkomplett elliptikus integrál, E trigonometrikus képlettel:

 E(\varphi,k) = E(\varphi \,|\,k^2) = E(\sin\varphi;k) = \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\, d\theta.

Behelyettesítve a  t=\sin\theta \; \text{és}\; x=\sin\varphi egyenleteket, kapjuk a Jacobi képletet:

 E(x;k) = \int_0^x \frac{\sqrt{1-k^2 t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\, dt.

Ezzel egyenlő, az amplitudóval, és moduláris szöggel kifejezett képlet:

 E(\varphi \setminus \alpha) = E(\varphi, \sin \alpha) = \int_0^\varphi \sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha)^2} \,d\theta.

Harmadfajú inkomplett elliptikus integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A harmadfajú inkomplett elliptikus integrál, Π:

 \Pi(n ; \varphi \setminus \alpha) = \int_0^\varphi  \frac{1}{1-n\sin^2 \theta}
\frac {d\theta}{\sqrt{1-(\sin\theta\sin \alpha)^2}}, vagy
 \Pi(n ; \varphi \,|\,m) = \int_{0}^{\sin \varphi} \frac{1}{1-nt^2}
\frac{dt}{\sqrt{(1-m t^2)(1-t^2)}}

Az n számot karakterisztikának hívják, és bármely értéket felvehet, függetlenül a többi argumentumtól, Figyeljük meg, hogy \Pi(1; \tfrac \pi 2 \,|\,m)\,\! értéke végtelen, bármely m-re. Kapcsolat a Jacobi-féle elliptikus függvényekkel:

 \Pi(n; \,\mathrm{sn}(u;k); \,k) = \int_0^u \frac{dw} {1 - n \,\mathrm{sn}^2 (w;k)}.

Elsőfajú komplett elliptikus integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elliptikus integrálra akkor mondjuk, hogy “komplett”, ha az amplitudó φ=π/2 és ezért x=1. Elsőfajú komplett elliptikus integrál, K definíciója:

K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}},

Speciális értékek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

K(0) = \tfrac {\pi} {2}
K(1) = \infty
K\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \tfrac{1}{4 \sqrt{\pi}} \;\Gamma\left(\tfrac{1}{4}\right)^2
K\left(\tfrac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2})\right) = 2^{-\frac 7 3} 3^{\frac 1 4} \pi^{-1} \Gamma\left(\tfrac 1 3\right)^3
K\left(\tfrac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2})\right) = 2^{-\frac 7 3} 3^{\frac 3 4} \pi^{-1} \Gamma\left(\tfrac 1 3\right)^3

Kapcsolat a Jacobi-féle 0-függvénnyel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

K(k)= \frac \pi 2 \theta_3^2(q),

ahol q egy speciális függvény: q(k)=\exp\left(-\pi \frac{K^\prime(k)}{K(k)}\right).

Aszimptotikus kifejezések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

K(k) \approx \frac {\pi} {2} + \frac {\pi} {8} \frac {k^2} {1-k^2} - \frac {\pi} {16} \frac {k^4} {1-k^2}

Ennek a közelítésnek a relative pontossága job, mint 3×10−4 k < 1/2}} esetében.

Derivált és differenciál egyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\frac{\mathrm{d}K(k)}{\mathrm{d}k} = \frac{E(k)}{k(1-k^2)}-\frac{K(k)}{k}
\frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}k} \left[ k (1-k^2) \frac {\mathrm{d}K(k)} {\mathrm{d}k} \right] = k K(k)

Másodfajú komplett elliptikus integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A másodfajú komplett elliptikus integrál, E írja le az ellipszis kerületét. Definíció:

E(k) = \int_0^{\pi/2}\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}\ d\theta = \int_0^1 \frac{\sqrt{1-k^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}} dt,

vagy:

E(k) = E(\tfrac{\pi}{2},k) = E(1;k).

Hatványsorral is kifejezhető:

E(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} (n!)^2}\right]^2 \frac{k^{2n}}{1-2 n},

mely ekvivalens:

E(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{k^2}{1} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3} - \cdots - \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \frac{k^{2n}}{2 n-1} - \cdots \right\}.

A Gaussi hipergeometrikus függvény kifejezéseivel:

E(k) = \tfrac{\pi}{2}  \,{}_2F_1 \left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}; 1; k^2 \right).

Speciális értékek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

E(0) = \tfrac \pi 2
E(1) = 1 \,\!
E\left( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \pi^{\frac{3}{2}} \Gamma\left( \tfrac{1}{4} \right)^{-2} + \tfrac{1}{8 \sqrt{\pi}} \Gamma\left( \tfrac{1}{4} \right)^2
E\left(\tfrac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2})\right) = 2^{\frac 1 3} 3^{-\frac 3 4} \pi^2 \Gamma\left(\tfrac 1 3\right)^{-3} + 2^{-\frac {10} 3} 3^{-\frac {1} 4} \pi^{-1} (\sqrt3 + 1) \Gamma\left(\tfrac 1 3\right)^3
E\left(\tfrac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2})\right) = 2^{\frac 1 3} 3^{-\frac 1 4} \pi^2 \Gamma\left(\tfrac 1 3\right)^{-3} + 2^{-\frac {10} 3} 3^{\frac 1 4} \pi^{-1} (\sqrt3 - 1) \Gamma\left(\tfrac 1 3\right)^3

Derivált és differenciál egyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\frac{\mathrm{d}E(k)}{\mathrm{d}k}=\frac{E(k)-K(k)}{k}
(k^2-1) \frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}k} \left[ k \;\frac {\mathrm{d}E(k)} {\mathrm{d}k} \right] = k E(k)

Harmadfajú komplett elliptikus integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A harmadfajú komplett elliptikus integrál, Π, melynek definíciója:

\Pi(n,k) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{(1-n\sin^2\theta)\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}}

Megjegyezzük,hogy néha a harmadfajú komplett elliptikus integrál definíálása az n karakterisztika inverz jelével történik,

\Pi'(n,k) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{(1+n\sin^2\theta)\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}}.

Parciális deriváltak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\frac{\partial\Pi(n,k)}{\partial n}=
\frac{1}{2(k^2-n)(n-1)}\left(E(k)+\frac{1}{n}(k^2-n)K(k)+\frac{1}{n}(n^2-k^2)\Pi(n,k)\right)
\frac{\partial\Pi(n,k)}{\partial k}=
\frac{k}{n-k^2}\left(\frac{E(k)}{k^2-1}+\Pi(n,k)\right)

Függvény kapcsolatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolat a Legendre-függvénnyel:

 K(k) E\left(\sqrt{1-k^2}\right) + E(k) K\left(\sqrt{1-k^2}\right) - K(k) K\left(\sqrt{1-k^2}\right) = \frac \pi 2.


Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Harris Hancock: Lectures on the theory of Elliptic functions. (hely nélkül): New York, J. Wiley & sons. 1910. 
  • Carlson, B.C: "Elliptic integral". (hely nélkül): ., NIST Handbook of Mathematical Functions. 2010. 

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]