A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Descartes-féle levél A Descartes-féle levél egy algebrai görbe , melyet az alábbi egyenlet definiál:
x
3
+
y
3
−
3
a
x
y
=
0
{\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0\,}
A 3a paraméter az ábrán sárga egyenesekkel berajzolt négyzet átlójának hossza. A görbe hurkot képez a derékszögű koordináta-rendszer első térnegyedében kettős ponttal az origóban és aszimptotával , melynek egyenlete:
x
+
y
+
a
=
0
{\displaystyle x+y+a=0\,}
(az ábrán piros egyenes).
A görbe szimmetrikus az
y
=
x
{\displaystyle y=x\,}
Egyenletei Polárkoordinátás egyenlete:
ρ
=
3
a
cos
φ
sin
φ
cos
3
φ
+
sin
3
φ
{\displaystyle \rho ={\frac {3a\cos \varphi \sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi +\sin ^{3}\varphi }}}
Paraméteres egyenletrendszere derékszögű koordináta-rendszerben:
{
x
=
3
a
t
1
+
t
3
y
=
3
a
t
2
1
+
t
3
{\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {3at}{1+t^{3}}}\\y={\frac {3at^{2}}{1+t^{3}}}\end{cases}}}
t
=
tg
φ
{\displaystyle t=\operatorname {tg} \varphi }
Gyakran vizsgálják a
135
∘
{\displaystyle 135^{\circ }}
y
=
±
x
l
+
x
l
−
3
x
{\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}}
l
=
3
a
2
{\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}}
Paraméteres egyenletrendszerrel:
x
=
l
t
2
−
1
3
t
2
+
1
,
y
=
l
t
(
t
2
−
1
)
3
t
2
+
1
{\displaystyle x=l{\frac {t^{2}-1}{3t^{2}+1}},\ y=l{\frac {t(t^{2}-1)}{3t^{2}+1}}}
és polárkoordinátákkal:
ρ
=
l
(
sin
2
φ
−
cos
2
φ
)
cos
φ
(
cos
2
φ
+
3
sin
2
φ
)
{\displaystyle \rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}}
Tulajdonságai Az aszimptota egyenlete:
x
+
y
+
a
=
0
{\displaystyle x+y+a=0\,}
A levél területe:
T
1
=
3
a
2
2
{\displaystyle T_{1}={\frac {3a^{2}}{2}}}
A görbe és az aszimptota közti terület:
T
2
=
T
1
=
3
a
2
2
{\displaystyle T_{2}=T_{1}={\frac {3a^{2}}{2}}}
Források J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv . Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-5309-1
Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
