Csúsztatva tükrözés

Síkbeli csúsztatva tükrözés szemléltetése.

A geometriában a csúsztatva tükrözés az egybevágósági transzformációk egy fajtája. A síkban egy tengelyes tükrözés és egy eltolás szorzata; a térben egy síkra tükrözés és egy eltolás szorzata. Általában, a legalább két dimenziós V vektortérben egy altérre való tükrözés és egy eltolás szorzata. Mindezek a transzformációk választhatók úgy, hogy a tükrözés tengelye és az eltolásvektor párhuzamosak legyenek. A tükrözések speciális csúsztatva tükrözésnek tekinthetőek, ahol az eltolásvektor a nullvektor.

Szerepe a diszkrét geometriában, a parkettázások és a kristályok szimmetriáinak osztályozásában, valamint a frízcsoportok vizsgálatában fontos. A járás szimmetriája is csúsztatva tükrözés. Mindezek mellett még az életjátékokban is megjelenik.

Tulajdonságai

• a síkbeli csúsztatva tükrözés három tengelyes tükrözés szorzataként, ahol a három tengely háromszöget zár közre
• általában három altérre vett tükrözés szorzataként kapható meg
• a tükrözés és az eltolás felcserélhető
• nincsenek fixpontjai
• egyetlen invariáns alakzata a párhuzamos felbontás tengelye
• a körüljárási irányt megfordítja
• egy csúsztatva tükrözés négyzete eltolás: ugyanis az első tényezőben az eltolást, a másodikban a tükrözést előrevéve a kétszeri tükrözés identitást ad, így csak az eltolás marad

Tércsoportok

A diszkrét tércsoportokban csak olyan transzformációk lehetnek, amik összeegyeztethetőek a megfelelő kristályráccsal. Mivel a csúsztatva tükrözés négyzete eltolás, ezért csak a táblázatban leírt csúsztatva tükrözések lehetnek egy tércsoport elemei:

Leírás	A tükörsíkra merőleges irány	Eltolásvektor	Hermann-Mauguin-szimbólum
Tengelyirányú tükrözési sík	[010]; [001]	$\frac{1}{2} \vec{a}$	a
	$[001] ; [100]$	$\frac{1}{2} \vec{b}$	b
	$[100] ; [010]$	$\frac{1}{2} \vec{c}$	c
	$[1\bar{1}0] ; [110]$
	$[ 100]  ; [010] ;[\bar{1}\bar{1}0]$
	$[1\bar{1}0] ; [120] ; [\bar{2}\bar{1}0]$
Átlós irányú tükrözési sík	$[001] ; [100] ; [010]$	$\frac{1}{2} (\vec{a}+\vec{b})\, ; \,\frac{1}{2} (\vec{b}+\vec{c})\, ; \,\frac{1}{2} (\vec{a}+\vec{c})$	n
	$[1\bar{1}0] ; [01\bar{1}] ; [\bar{1}01]$	$\frac{1}{2}( \vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})$
	$[110] ; [011] ; [101]$	$\frac{1}{2}( -\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c}) \, ; \,\frac{1}{2}( \vec{a}- \vec{b}+\vec{c}) \, ; \,\frac{1}{2}( \vec{a}+ \vec{b}-\vec{c})$
Tetraéderes tükrözési sík	$[001] ; [100] ; [010]$	$\frac{1}{4}( -\vec{a}\pm \vec{b}) \, ; \,\frac{1}{4}( \vec{b}\pm \vec{c}) \, ; \,\frac{1}{4}( \pm\vec{a}+ \vec{c})$	d
	$[1\bar{1}0] ; [01\bar{1}] ; [\bar{1}01]$	$\frac{1}{4}( \vec{a}+\vec{b}\pm \vec{c}) \, ; \,\frac{1}{4}( \pm\vec{a}+\vec{b}+ \vec{c}) \, ; \,\frac{1}{4}( \vec{a}\pm\vec{b}+ \vec{c})$
	$[110] ; [011] ; [101]$	$\frac{1}{4}( -\vec{a}+\vec{b}\pm \vec{c}) \, ; \,\frac{1}{4}( \pm\vec{a}-\vec{b}+ \vec{c}) \, ; \,\frac{1}{4}( \vec{a}\pm\vec{b}+-\vec{c})$

Egyszerűen bizonyítható, hogy mindezek a csúsztatva tükrözések eleget tesznek a négyzetükkel szemben támasztott követelményeknek. A tetraéderes csúsztatva tükrözések csak a lapközepes ortotrombikus, a térközepes tetragonális és a lapközepes bravaisrácsok szimmetriái között jelennek meg. Itt a centráltságról is tartalmaznak információt, ami négyzetre emeléssel kinyerhető; ugyanis az így kapott eltolásvektor már közvetlenül mutatja a centráltságot.

Életjáték

A csúsztatva tükrözés a járás szimmetriája. A Conway-féle életjátékban is sok szerkezet mozog csúsztatva tükrözéssel. A glider, a LWSS, az MWSS és az HWSS minden második lépésben önmaga csúsztatott tükörképévé válik. Íme egy kis űrhajó:

o	.	.	o	.	.	.
.	.	.	.	o	.	.
o	.	.	.	o	.	.
.	o	o	o	o	.	.
.	.	.	.	.	.	.

.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	o	o	.	.
.	o	o	.	o	o	.
.	o	o	o	o	.	.
.	.	o	o	.	.	.

.	.	.	.	.	.	.
.	.	o	o	o	o	.
.	o	.	.	.	o	.
.	.	.	.	.	o	.
.	o	.	.	o	.	.

.	.	.	o	o	.	.
.	.	o	o	o	o	.
.	.	o	o	.	o	o
.	.	.	.	o	o	.
.	.	.	.	.	.	.

Források

• Schwarzenbach D. Kristallographie, Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5
• Fejezetek az euklideszi geometriából
• Matematika és geometria az építészetben