Csúsztatva tükrözés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Síkbeli csúsztatva tükrözés szemléltetése.

A geometriában a csúsztatva tükrözés az egybevágósági transzformációk egy fajtája. A síkban egy tengelyes tükrözés és egy eltolás szorzata; a térben egy síkra tükrözés és egy eltolás szorzata. Általában, a legalább kétdimenziós V vektortérben egy altérre való tükrözés és egy eltolás szorzata. Mindezek a transzformációk választhatók úgy, hogy a tükrözés tengelye és az eltolásvektor párhuzamosak legyenek. A tükrözések speciális csúsztatva tükrözésnek tekinthetőek, ahol az eltolásvektor a nullvektor.

Szerepe a diszkrét geometriában, a parkettázások és a kristályok szimmetriáinak osztályozásában, valamint a frízcsoportok vizsgálatában fontos. A járás szimmetriája is csúsztatva tükrözés. Mindezek mellett még az életjátékokban is megjelenik.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • a síkbeli csúsztatva tükrözés három tengelyes tükrözés szorzataként, ahol a három tengely háromszöget zár közre
  • általában három altérre vett tükrözés szorzataként kapható meg
  • a tükrözés és az eltolás felcserélhető
  • nincsenek fixpontjai
  • egyetlen invariáns alakzata a párhuzamos felbontás tengelye
  • a körüljárási irányt megfordítja
  • egy csúsztatva tükrözés négyzete eltolás: ugyanis az első tényezőben az eltolást, a másodikban a tükrözést előrevéve a kétszeri tükrözés identitást ad, így csak az eltolás marad

Tércsoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A diszkrét tércsoportokban csak olyan transzformációk lehetnek, amik összeegyeztethetőek a megfelelő kristályráccsal. Mivel a csúsztatva tükrözés négyzete eltolás, ezért csak a táblázatban leírt csúsztatva tükrözések lehetnek egy tércsoport elemei:

Leírás A tükörsíkra merőleges irány Eltolásvektor Hermann-Mauguin-szimbólum
Tengelyirányú tükrözési sík [010]; [001] \frac{1}{2} \vec{a} a
 [001] ; [100] \frac{1}{2} \vec{b} b
[100] ; [010]
\frac{1}{2} \vec{c} c
 [1\bar{1}0] ; [110]
 [ 100]  ; [010] ;[\bar{1}\bar{1}0]
 [1\bar{1}0] ; [120] ; [\bar{2}\bar{1}0]
Átlós irányú tükrözési sík [001] ; [100] ; [010] \frac{1}{2} (\vec{a}+\vec{b})\, ; \,\frac{1}{2} (\vec{b}+\vec{c})\, ; \,\frac{1}{2} (\vec{a}+\vec{c}) n
 [1\bar{1}0] ; [01\bar{1}] ; [\bar{1}01] \frac{1}{2}( \vec{a}+ \vec{b}+\vec{c})
 [110] ; [011] ; [101] \frac{1}{2}( -\vec{a}+ \vec{b}+\vec{c}) \, ; \,\frac{1}{2}( \vec{a}- \vec{b}+\vec{c}) \, ; \,\frac{1}{2}( \vec{a}+ \vec{b}-\vec{c})
Tetraéderes tükrözési sík  [001] ; [100] ; [010] \frac{1}{4}( -\vec{a}\pm \vec{b}) \, ; \,\frac{1}{4}( \vec{b}\pm \vec{c}) \, ; \,\frac{1}{4}( \pm\vec{a}+ \vec{c})  d
 [1\bar{1}0] ; [01\bar{1}] ; [\bar{1}01] \frac{1}{4}( \vec{a}+\vec{b}\pm \vec{c}) \, ; \,\frac{1}{4}( \pm\vec{a}+\vec{b}+ \vec{c}) \, ; \,\frac{1}{4}( \vec{a}\pm\vec{b}+ \vec{c})
 [110] ; [011] ; [101] \frac{1}{4}( -\vec{a}+\vec{b}\pm \vec{c}) \, ; \,\frac{1}{4}( \pm\vec{a}-\vec{b}+ \vec{c}) \, ; \,\frac{1}{4}( \vec{a}\pm\vec{b}+-\vec{c})

Egyszerűen bizonyítható, hogy mindezek a csúsztatva tükrözések eleget tesznek a négyzetükkel szemben támasztott követelményeknek. A tetraéderes csúsztatva tükrözések csak a lapközepes ortotrombikus, a térközepes tetragonális és a lapközepes bravaisrácsok szimmetriái között jelennek meg. Itt a centráltságról is tartalmaznak információt, ami négyzetre emeléssel kinyerhető; ugyanis az így kapott eltolásvektor már közvetlenül mutatja a centráltságot.

Életjáték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A csúsztatva tükrözés a járás szimmetriája. A Conway-féle életjátékban is sok szerkezet mozog csúsztatva tükrözéssel. A glider, a LWSS, az MWSS és az HWSS minden második lépésben önmaga csúsztatott tükörképévé válik. Íme egy kis űrhajó:

o . . o . . .
. . . . o . .
o . . . o . .
. o o o o . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . o o . .
. o o . o o .
. o o o o . .
. . o o . . .
. . . . . . .
. . o o o o .
. o . . . o .
. . . . . o .
. o . . o . .
. . . o o . .
. . o o o o .
. . o o . o o
. . . . o o .
. . . . . . .

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]