Cournot-duopólium

A Cournot-duopólium egyike a mikroökonómiai piacelméletben használatos duopólium-modelleknek. A modellt megalkotójáról, Antoine Augustin Cournot francia matematikus-közgazdászról nevezték el.

A Cournot-duopólium jellemzői:

• A piacon rövid és hosszú távon is pontosan két eladó (a továbbiakban: vállalat) van jelen, akik között nincs együttműködés.
• A két vállalat ugyanazt a jószágot állítja elő.
• A megtermelt jószágegységek homogének, azaz minőségükben nem különböznek egymástól.
• A vállalatok egyetlen célja profitjuk maximalizálása, aminek érdekében az összes rendelkezésükre álló információt felhasználják.
• A vállalatok csak a jószág általuk kibocsátott mennyiségéről döntenek, a jószág – egyetlen – árát piaci folyamatok alakítják ki.
• A vállalatok kínálati döntésüket szimultán módon, vagyis stratégiai szempontból egyszerre hozzák. Ez azt jelenti, hogy egyik vállalat sem ismeri, amikor meghozza a döntését, hogy a másik hogyan döntött (még akkor sem, ha az időben korábban történt).

A reakciófüggvény

Jelölje $D(p)\,$ a két vállalat által előállított jószág piaci keresleti függvényét, ahol p a jószág ára. Az egyszerűség kedvéért nevezzük a két eladót 1., illetve 2. vállalatnak. Ekkor legyen y₁ az 1., y₂ pedig a 2. vállalat kibocsátása, továbbá $C_{1}(y_{1})\,$ az 1., $C_{2}(y_{2})\,$ pedig a 2. vállalat összköltségfüggvénye.

A további összefüggéseket csak az 1. vállalatra vezetjük le; mivel a két vállalat közül egyik sincs „kitüntetett” szerepben, ezért természetesen ugyanezek vonatkoznak a 2. vállalatra is, csak más jelölésekkel. Az 1. vállalat profitja – $\pi _{1}\,$ – az árbevétel (a jószág ára szorozva a vállalat által kibocsátott mennyiségével) és az összköltség különbsége:

$\pi _{1}=p\cdot y_{1}-C_{1}(y_{1})$

Mivel az 1. vállalat célja profitjának maximalizálása, ezért azt az y₁ kibocsátási szintet kell megkeresnünk, ahol a profitfüggvény értéke maximális. Viszont ha a – minden pontjában differenciálhatónak feltételezett – profitfüggvény eléri maximumát, akkor y₁ szerinti deriváltja 0 lesz. Tehát a profitmaximalizáló kibocsátásra fennáll a következő egyenlőség (deriváljuk a fenti összefüggést y₁ szerint, majd egyenlővé tesszük 0-val):

${\frac {\partial \pi _{1}}{\partial y_{1}}}={\frac {\partial p}{\partial y_{1}}}\cdot y_{1}+p-MC_{1}(y_{1})=0$

MC₁ jelöli a jószág előállításának határköltségét, az összköltség y₁ szerinti deriváltját.

Az egyenletben két ismeretlen is szerepel: y₁ és p. Tudjuk azonban, hogy p a keresleti függvény, $D(p)\,$ magyarázó változója; a piaci folyamatok pedig a keresletet egyenlővé teszik a kínálattal. A kínálat nem más, mint a két vállalat összes kibocsátása, vagyis $y_{1}+y_{2}\,$. Az előbb megfogalmazott összefüggést a matematika nyelvén felírva:

$D(p)=y_{1}+y_{2}\,$

Ha pedig a keresleti függvény inverzére írjuk fel az egyenlőséget:

$p=P(y_{1}+y_{2})\,$

P az inverz keresleti függvény. Mivel értéke az árral, p-vel egyenlő, a deriválással kapott fenti összefüggésbe is behelyettesíthetjük p helyére:

${\frac {\partial P(y_{1}+y_{2})}{\partial y_{1}}}\cdot y_{1}+P(y_{1}+y_{2})-MC_{1}(y_{1})=0$

Sajnos azt tapasztaljuk, hogy az eltűnt p helyét egy másik ismeretlen váltotta fel: y₂, vagyis a 2. vállalat kibocsátása, amit a modell definíciója szerint az 1. vállalat nem ismerhet kínálati döntésének meghozatalakor. Viszont megpróbálhatja megbecsülni y₂-t különböző más információk alapján (ezekre később még visszatérünk). A 2. vállalat 1. vállalat által becsült kibocsátását y₂^e-vel jelölhetjük.

Összefüggésünk most ilyen alakot ölt:

${\frac {\partial P(y_{1}+y_{2}^{e})}{\partial y_{1}}}\cdot y_{1}+P(y_{1}+y_{2}^{e})-MC_{1}(y_{1})=0$

Ez az egyenlőség pedig implicit módon meghatározza az $y_{1}(y_{2}^{e})$ függvényt, amit az 1. vállalat reakciófüggvényének nevezünk. A reakciófüggvény a 2. vállalat minden egyes becsült kibocsátási szintjéhez az 1. vállalat profitmaximalizáló kibocsátását rendeli.

Természetesen, ahogy már említettük is, a 2. vállalat reakciófüggvénye ugyanilyen módszerrel határozható meg. Ekkor az 1. vállalat kibocsátása a becsült érték, tehát a reakciófüggvény $y_{2}(y_{1}^{e})$ alakú lesz.

A reakciófüggvények és a Cournot-egyensúly.
(Megjegyzés: A reakciófüggvények csak akkor biztosan lineárisak és negatív meredekségűek, ha a keresleti függvény is negatív meredekségű és lineáris.)

Az egyensúly

Cournot-egyensúlyban mindkét vállalatnak a másik kibocsátására vonatkozó becslése a másik vállalat tényleges kibocsátásával egyenlő. Tehát:

$y_{1}=y_{1}(y_{2})\,$
$y_{2}=y_{2}(y_{1})\,$

Ha a két reakciófüggvényt közös koordináta-rendszerben ábrázoljuk, akkor a Cournot-egyensúlyi pont a két függvény metszéspontja lesz.

Az egyensúly kialakulása

Ha mindkét vállalat csak egyszer hozhatná meg kínálati döntését, ahogy az eredetileg a modellben szerepel, akkor nem valószínű, hogy becsléskor éppen eltalálnák a másik vállalat választott kibocsátási szintjét. Ha viszont egymást követően többször is döntést hoznak (ami nyilvánvalóan közelebb áll a valósághoz is), és a másik vállalat előző időszaki kibocsátása már megfigyelhető a számukra, akkor megtehetik, hogy korrigálják a korábbi becsléseiket. Ezek a korrekciók a Cournot-duopóliumot az egyensúly irányába mozdítják el.

Tegyük fel például, hogy a vállalatoknak havonta kell meghozniuk kínálati döntésüket, vetélytársuk előző havi kínálati döntését pedig meg tudják figyelni. Ekkor, ha nincs más információjuk, célszerű azt feltételezniük, hogy a másik vállalat jelen hónapban is ugyanazon kibocsátási szintet választja, mint annak előtte. Eszerint a vállalatok a t-edik időszakban így határozzák meg a kibocsátásukat:

$y_{1}^{t}=y_{1}(y_{2}^{t-1})$
$y_{2}^{t}=y_{2}(y_{1}^{t-1})$

A t+1-edik időszakban pedig így:

$y_{1}^{t+1}=y_{1}(y_{2}^{t})=y_{1}(y_{2}(y_{1}^{t-1}))$
$y_{2}^{t+1}=y_{2}(y_{1}^{t})=y_{2}(y_{1}(y_{2}^{t-1}))$

És így tovább. Belátható, hogy a reakciófüggvény-értékek t növekedésével a Cournot-egyensúlyi értékhez tartanak.

Egy példa

Egy faluban két „vállalat” foglalkozik perecsütéssel. Az általuk készített perecek teljesen egyformák; a két vállalat által alkotott duopólium más jellemzőiben is megfelel a Cournot-modell feltételeinek. Mindkét vállalat hetente dönt az általa kínált mennyiségről. A perec keresleti függvénye:

$D(p)=120-{\frac {p}{2}}$

Az 1. vállalat modern technológiával dolgozik, határköltség-függvénye $MC_{1}(y_{1})=y_{1}\,$, ahol y₁ a vállalat heti kibocsátása. A 2. vállalat elavultabb technológiát alkalmaz, határköltség-függvénye $MC_{2}(y_{2})=4y_{2}\,$ (y₂ a 2. vállalat heti kibocsátása).

Kérdések: Mennyi lesz az egyes vállalatok Cournot-egyensúlyi kibocsátása, valamint a piaci ár? Mennyi volna az összkibocsátás és az ár abban az esetben, ha a perecnek versenyzői piaca lenne?

A reakciófüggvények

Először a reakciófüggvényeket kell meghatároznunk. Az 1. vállalat reakciófüggvényét implicit módon megadó, feljebb már felírt egyenlet így néz ki:

${\frac {\partial P(y_{1}+y_{2}^{e})}{\partial y_{1}}}\cdot y_{1}+P(y_{1}+y_{2}^{e})-MC_{1}(y_{1})=0$

Az inverz keresleti függvényt, P(y)-t így kaphatjuk meg:

${\begin{matrix}D(p)=120-{\frac {p}{2}}\\{\frac {p}{2}}=120-D(p)\\p=240-2D(p)=240-2y=P(y)\end{matrix}}$

A függvény y₁ szerinti deriváltja -2. Helyettesítsünk be az egyenletbe mindent, amit tudunk, majd rendezzük y₁-re:

${\begin{matrix}-2y_{1}+240-2\cdot (y_{1}+y_{2}^{e})-y_{1}=0\\240-2y_{2}^{e}=5y_{1}\\48-{\frac {2}{5}}\cdot y_{2}^{e}=y_{1}\end{matrix}}$

Az 1. vállalat reakciófüggvénye tehát:

$y_{1}(y_{2}^{e})=48-{\frac {2}{5}}\cdot y_{2}^{e}$

A 2. vállalat reakciófüggvénye hasonlóan vezethető le. A végeredmény:

$y_{2}(y_{1}^{e})=30-{\frac {1}{4}}\cdot y_{1}^{e}$

Az egyensúly

A Cournot-egyensúly a reakciófüggvények metszéspontjának felel meg, vagyis meg kell oldanunk az

$y_{1}=48-{\frac {2}{5}}\cdot y_{2}$
$y_{2}=30-{\frac {1}{4}}\cdot y_{1}$

kétismeretlenes egyenletrendszert. A gyökök:

$y_{1}=40\,$
$y_{2}=20\,$

Látható, hogy a modernebb technológia az 1. vállalat számára nagyobb piaci részesedést biztosított. Az is megállapítható, hogy összesen 40 + 20 = 60 perecet fognak eladni egy hét alatt. A piaci árat az összkibocsátásnak az inverz keresleti függvénybe való helyettesítésével kaphatjuk meg:

$p=P(60)=240-2\cdot 60=120$

A versenyzői piaccal való összehasonlítás

Ha a perec piaca versenyzői piac volna, akkor az egyensúlyi ár-kibocsátás kombináció a keresleti és a kínálati függvény – utóbbi ebben az esetben a határköltséggörbe – metszéspontjában lenne. Persze kérdés, hogy itt melyik (az 1. vagy a 2.) vállalat határköltség-függvényét használjuk fel. A legjobb válasz erre az, hogy a versenyzői piacon minden technológiával kapcsolatos információ nyilvános, így hosszú távon minden vállalat a legkedvezőbb technológiára áll át. Így az 1. vállalat határköltség-függvényét kell figyelembe vennünk.

Tehát az inverz keresleti függvény értéke egyenlő a határköltséggel:

${\begin{matrix}P(y)=MC(y)\\240-2y=y\\y=80\end{matrix}}\,$

Az ár meghatározása:

$P(y)=P(80)=240-2\cdot 80=80\,$

Hasonlítsuk össze az összkibocsátást és az árat Cournot-duopólium, illetve versenyzői piac esetén:

	Cournot-duopólium	Versenyzői piac
Összkibocsátás	60	80
Ár	120	80

Látható, hogy a Cournot-modellben a kibocsátás a versenyzői piac kibocsátása alatt marad, az ár viszont meghaladja a versenyzői árat. A Cournot-duopólium a tökéletes versenyhez képest a javak kevésbé hatékony elosztását tudja csak biztosítani.

A hatékonyságveszteség számszerűen is kifejezhető, ha meghatározzuk az úgynevezett holtteherveszteséget, a vásárlók kieső fogyasztói többletének és a vállalatok kieső termelői többletének összegét. A holtteherveszteség képlete, ha a keresleti és a határköltségfüggvény is lineáris:

$HTV={\frac {\Delta p\cdot \Delta y}{2}}$

$\Delta p\,$ a Cournot-duopólium és a versenyzői piac árának különbségét, $\Delta y\,$ pedig a két kibocsátás különbségét jelöli. Jelen esetben:

$HTV={\frac {(120-80)\cdot (80-60)}{2}}={\frac {40\cdot 20}{2}}=400$

Az tehát, hogy a perec piaca Cournot-duopóliumként működik, a falu és a vállalatok számára heti (!) 400 forint veszteséggel jár.

A Cournot-játék extenzív alakja (a számok a fenti példából származnak)

A Cournot-duopólium játékelméleti modellje

A játékelmélet a Cournot-duopóliumot aszimmetrikus információs játékként modellezi. A „Cournot-játék” elemei:

• két játékos (a két vállalat);
• mindkét játékos számára a választható akciók a kibocsátásának lehetséges értékei;
• a másodikként lépő játékos nem ismeri az első játékos lépését (információs halmaza nem egyelemű);
• a játék végén a kifizetések a játékosok profitjai;
• a játékosok célja, hogy kifizetésük maximális legyen.

A Cournot-egyensúly nem más, mint a Cournot-játék tiszta stratégiákon alapuló Nash-egyensúlya.