Bernoulli-féle differenciálegyenlet

Az

$y'+p(x)y=r(x)y^{n}\,$ (n ≠ 0,1) (1)

közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, nemlineáris differenciálegyenletet, feltéve, hogy y≠0:

${\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {p(x)}{y^{n-1}}}=r(x)$ (1*)

alakban is írható, Bernoulli-féle differenciálegyenletnek nevezzük.

Az

$y^{1-n}\ =z(x)\,$

új ismeretlen függvény bevezetésével:

${\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}=(1-n)y^{-n}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,$.

Az (1*) egyenlet a behelyettesítés után az

${\frac {1}{1-n}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}+p(x)z=r(x)\,$

alakot veszi fel, amely a z(x) függvényre nézve már elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet, amelynek általános megoldása:

$z=y^{1-n}=e^{(n-1)\int p(x)\,\mathrm {d} x}(C_{1}+(1-n)\int r(x)e^{(1-n)\int p(x)\mathrm {d} x}\mathrm {d} x)\,$,

tehát az (1) differenciálegyenlet általános megoldása:

$y=e^{(-1)\int p(x)\,\mathrm {d} x}(C_{1}+(1-n)\int r(x)e^{(1-n)\int p(x)\mathrm {d} x}\mathrm {d} x)^{\frac {1}{1-n}}\,$, (2)

ha n>0, akkor az y=0 függvény is megoldása (1)-nek.

Az egyenletet Jakob Bernoulliról (1655–1705) nevezték el.

Források

• A Bernoulli-féle differenciálegyenlet