Arany spirál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Hozzávetőleges és valódi arany spirálok: a zöld spirált a négyzetek belsejét érintő negyedkörök alkotják, míg a vörös spirál egy arany spirál, a logaritmikus spirál egyik fajtája. Az egymást fedő részek sárga színnel jelennek meg. A nagyobb négyzet oldalától a következő kisebb négyzetig elhelyezkedő szakasz hossza az aranymetszés
Egy Fibonacci-spirál megközelíti az arany spirált. A fenti „örvénylő téglalap-diagram” az aranymetszésen alapul, míg az arany spirál négyzeteken alapul, amik oldalai egész Fibonacci-számok, azaz 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 és 34

A geometriában az arany spirál egy logaritmikus spirál, aminek a tágulási faktora, a b a φ-hez, az aranymetszéshez kötődik.[1] Egyedi módon, egy arany spirál a φ faktorával szélesedik, vagy kerül távolabb kezdőpontjától minden negyedkör után, amit megtesz.

Képlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy arany spirál poláris egyenlete ugyanaz, mint más logaritmikus spiráloké, de egy b különleges értékkel:[2]

r = ae^{b\theta}\,

vagy

\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),

ahol az e a természetes logaritmusok alapja, az a egy tetszőleges pozitív valódi állandó, és a b pedig (amikor a \theta egy derékszög (mindkét irányban egy negyed fordulat)):

e^{b\theta_\mathrm{right}}\, = \phi

Így, a b

b = {\ln{\phi} \over \theta_\mathrm{right}}.

A b számértéke függ attól, hogy a derékszöget 90 foknak, vagy \textstyle\frac{\pi}{2} radiánnak vesszük; és mivel a szög mindkét irányban lehet, könnyebb a b abszolútértékével leírni a képletet (b lehet ennek az értéknek az ellentettje is):

|b| = {\ln{\phi} \over 90} = 0,0053468\, \theta foknál;
|b| = {\ln{\phi} \over \pi/2} = 0,306349\, \theta radiánnál

Egy logaritmikus és egy arany spirál másik képlete:[3]

r = ac^{\theta}\,

ahol a c állandó

c = e^b\,

ami az arany spirálnál a c ilyen értékeit adja meg:

c = \phi ^ \frac{1}{90} \doteq 1,0053611

ha a \theta fokokban mérendő, és

c = \phi ^ \frac{2}{\pi} \doteq 1,358456

ha \theta radiánokban mérendő.

Az arany spirál közelítései[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

History of Gold. Rersum 2007.jpg

Sok hasonló spirál van, ami megközelíti, de nem éri el az arany spirált.[4] Ezeket sokszor tévesztik össze az arany spirállal.

Egy arany spirált meg lehet közelíteni egy „örvénylő téglalap-diagrammal”, ahol a négyzetek ellenkező sarkai, amiket kígyózó arany téglalapok alkotnak, negyedkörökkel vannak összekötve. A végeredmény nagyon hasonló egy valódi arany spirálhoz (lásd a jobb felső sarokban lévő képet).

Egy másik közelítés a Fibonacci-spirál, ami nem valódi logaritmikus spirál. Minden negyedfordulat után a Fibonacci-spirál nem φ-vel lesz szélesebb, hanem egy változó tényezővel, ami a Fibonacci-számok egymást követő tagjaival van összefüggésben. Az egymást követő tagok a Fibonacci-sorozatban megközelítik a φ-t, tehát a két spirál nagyon hasonló lesz. (lásd a jobb alsó sarokban lévő képet).

Spirálok a természetben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A természetben megközelítő logaritmikus spirálok előfordulhatnak (például a spirális galaxisok elágazásai). Néha azt mondják, hogy a nautilus kagylói az arany spirál mintájára tágulnak, és így nem csak a φ-hez kötődnek, de a Fibonacci-sorozathoz is. Az igazság az, hogy a nautilus-kagylók, és sok más puhatestű kagylói egy logaritmikus spirál tágulási mintáját követik, de egy megkülönböztethetően más szögben, mint ami az arany spirálnál van.[5] Ez a minta engedi meg az élőlénynek, hogy alakváltozás nélkül növekedjen. Sok spirál fordul elő a természetben; az arany spirál csak egy speciális fajta.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. "Golden Spiral" by Yu-Sung Chang, A wolfram-szemléltetés Projekt.
  2. Priya Hemenway. Isteni Metszés: Φ A phi a művészetben, természetben és a tudományban. Sterling Publishing Co, 127–129. o (2005). ISBN 1402735227 
  3. Klaus Mainzer. A természet szimmetriái: A természet és a tudomány filozófiájának kézikönyve. Walter de Gruyter, 45, 199–200. o (1996). ISBN 3110129906 
  4. Charles B. Madden. Fraktálok a zenében: a zenei analízis bevezető matematikája. High Art Press, 14–16. o (1999). ISBN 0967172764 
  5. Oberon Zell-Ravenheart. Az újonc varázsló kézikönyve. Career Press, 274. o (2004). ISBN 1564147118