Generátorrendszer (lineáris algebra)

A lineáris algebrában egy vektortér generátorrendszere egy olyan részhalmaz, aminek elemeinek lineáris kombinációjaként bármely vektor kifejezhető. Duális fogalma a lineárisan független rendszer. A vektortér bázisa egy minimális generátorrendszer (és egyben maximális lineárisan független rendszer). Egy vektortér végesen generált, ha van véges generátorrendszere.

Definíció

Az a₁,…,a_n ∈ V vektorokat a V vektortér generátorrendszerének nevezzük, ha V minden eleme előáll az a_i vektorok lineáris kombinációjaként.

Példák

• minden bázis egyben egy generátorrendszer is,
• maga a V vektortér is generátorrendszer,

Koordinátatér

Egy valós $V=\mathbb {R} ^{n}$ vektortér egy generátorrendszere a standard bázisvektorokból áll:

$e_{1}=(1,0,0,\dotsc ,0),e_{2}=(0,1,0,\dotsc ,0),\dotsc ,e_{n}=(0,0,0,\dotsc ,1)$.

Valójában, minden $v=(v_{1},\dotsc ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ vektor előáll, mint:

$v=v_{1}e_{1}+v_{2}e_{2}+\dotsb +v_{n}e_{n}$,

ahol $v_{1},\dotsc ,v_{n}\in \mathbb {R}$ ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációját jelenti.

További generátorrendszerek előállíthatók felesleges vektorok hozzávételével. Vannak azonban olyan generátorrendszerek, amelyek nem tartalmazzák az $e_{1},\dotsc ,e_{n}$ vektorokat. Például

$f_{1}=(-1,1,0,\dotsc ,0),f_{2}=(0,-1,1,\dotsc ,0),\dotsc ,f_{n}=(0,0,0,\dotsc ,-1)$

szintén $\mathbb {R} ^{n}$ generátorrendszere, amivel minden $v=(v_{1},\dotsc ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ kifejezhető, mint:

$v=(-v_{1})f_{1}+(-v_{1}-v_{2})f_{2}+\dotsb +(-v_{1}-v_{2}-\dotsb -v_{n})f_{n}$

Polinomterek

Az $\mathbb {R} [x]$ egy nem végesen generált vektortér, ami az $x$ szerint egyváltozós valós polinomok halmaza. Egy generátorrendszere a monomokból áll:

$E=\{1,x,x^{2},\dotsc ,x^{k},\dotsc \}$.

Ez egy generátorrendszer, mivel minden $n$-edfokú polinom előáll, mint:

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n}$,

azaz monomok véges lineáris kombinációja. Itt is vannak más generátorrendszerek, például a Legendre-polinomok, vagy a Csebisev-polinomok. De bebizonyítható, hogy véges generátorrendszer nem létezhet.

Sorozatterek

Szintén nem végesen generált az $\omega$ sorozattér, melyet a valós $(a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc )$ valós sorozatok alkotnak, azaz $a_{i}\in \mathbb {R}$, ahol $i\in \mathbb {N}$. A nyilvánvaló választás:

$e_{0}=(1,0,0,\dotsc ),e_{1}=(0,1,0,\dotsc ),e_{2}=(0,0,1,\dotsc ),\dotsc$

nem generátorrendszer, hiszen nem áll elő minden sorozat véges lineáris kombinációként; csak azok, ahol véges sok tag különbözik nullától. Az $\omega$ térnek nincs megszámlálható generátorrendszere; minden generátorrendszere nem megszámlálható végtelen elemet tartalmaz.

Nullvektortér

A $\{0\}$ nullvektortér, ami a $0$ vektorból áll, két generátorremndszerrel is generálható:

$E=\emptyset$   és   $E=\{0\}$.

Az üres halmaz azért generátorrendszer, mivel a vektorok üres összege a nullvektor.

Tulajdonságok

Ha a generátorrendszert további V-beli vektorokkal bővítjük, akkor ismét generátorrendszert kapunk (azaz egy vektortér generátorrendszerei felszálló halmazrendszert alkotnak).

Egy $E\subseteq V$ generátorrendszer minimális, ha nincs $e\in E$, hogy $E\setminus \{e\}$ szintén generátorrendszere $V$-nek. A minimális generátorrendszereket bázisnak nevezzük.

• Minden véges generátorrendszer tartalmaz bázist.

Ez úgy igazolható, hogy addig hagyunk el elemeket, ameddig lehet.
Az állítás igaz végtelen generátorrendszerekre is, de ekkor a bizonyításhoz a Zorn-lemmát vagy a kiválasztási axióma valamelyik más ekvivalensét kell felhasználni.

Egy $E$ bázis lineárisan független vektorokból áll. Ha ugyanis egy $e\in E$ lineárisan függne a többi elemtől, akkor behelyettesítéssel minden $v\in V$ vektor előállna $E\setminus \{e\}$ lineáris kombinációjaként; tehát $E$ nem lenne minimális, így bázis sem.

Generált alterek

Tetszőleges $E\subseteq V$ esetén tekinthetjük az $E$ által generált $W\subseteq V$ alteret. Ennek konstrukciójára két klehetőség adódik:

Az egyik lehetőség az, hogy vesszük az $E$-t tartalmazó alterek metszetét. Ez szintén altér lesz $V$-ben, hiszen alterek metszete. Ez az altér halmazelméletileg a legkisebb, ami $E$-t tartalmazza.

A második módszer szerint tekintjük az $E$-ből képezett összes lineáris kombinációját. Ez a halmaz az $E$ lineáris burka, amit $\langle E\rangle$ jelöl. Így a $W$ altér éppen az $E$ űáltal generált altér. Tehát $E$ generátorrendszere $W$-nek.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK, 2. fejezet (Vektorterek, lineáris leképezések és mátrixaik)
• Heinz Bauer. Maß- und Integrationstheorie, 2., überarbeitete, Berlin (u. a.): de Gruyter (1992. június 15.) 
• Gerd Fischer. Lineare Algebra, 15., verbesserte, Wiesbaden: Vieweg (2005. június 15.) 
• Kurt Meyberg. Algebra. Bd. 1. München [u. a.]: Carl Hanser Verlag (1975. június 15.) 
• Christian Karpfinger - Kurt Meyberg. Algebra. Gruppen - Ringe - Körper, 2., Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag (2010. június 15.) 
• Horst Schubert. Topologie. Eine Einführung, 4., Stuttgart: B. G. Teubner Verlag (1975. június 15.) 

Kapcsolódó szócikkek

• Lineáris algebra
• Lineáris függetlenség
• Lineáris leképezés
• Vektortér