A holomorf függvények identitástétele

A komplex analízisben a holomorf függvények identitástétele azt állítja, hogy ha f és g holomorf ugyanazon a D tartományon, továbbá f = g D egy nem üres nyílt részhalmazán, f = g teljes D-ben.

Sőt, az is igaz, hogy ha $f$ és $g$ holomorf, $z_{0}$ komplex szám egy $U$ környezetben, továbbá $z_{0}$ a $\{z\in U\mid f(z)=g(z)\}$ halmaz torlódási pontja, akkor $z_{0}$-nak van egy másik környezete, ahol minden pontban $f(z)=g(z)$.

Ez egy erős állítás, ugyanis a részhalmaz kicsi is lehet a teljes D-hez viszonyítva. Ehhez nem elég, hogy a függvények valós értelemben differenciálhatók legyenek. Informálisan, a folytonos vagy valós értelemben differenciálható függvények lágyak, a holomorfak kemények.

Példák

A tétel állítása az első változatban nem teljesül, ha az alaphalmaz nem összefüggő. Ez könnyen belátható.

A második változatban lényeges, hogy a torlódási pont a környezet belsejében, és ne a szélén legyen:

Tekintjük a $\sin({\tfrac {1}{z}})$ függvényt, ami holomorf a $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ tartományon. A tartományban van a $z_{n}={\tfrac {1}{n\pi }}$ sorozat, ami a nullához tart. A nulla torlódási pontja is a sorozatnak, és $\sin({\tfrac {1}{z_{n}}})=\sin(n\pi )=0$, de az is teljesül, hogy $\sin({\tfrac {1}{z}})\not \equiv 0$. Azaz $\sin({\tfrac {1}{z}})$ egyenlő nullával a $z_{n}$ pontokban, de nem a teljes pontozott síkon.

Következmények

Fontos következmény a valós függvények folytathatósága. Azaz, ha egy függvény kiterjeszthető holomorf módon a komplex számsíkra, akkor ez a kiterjesztés egyértelmű. Így például a valós szinuszfüggvény kiterjesztése a komplex szinuszfüggvény. Emellett erre is érvényesek az addíciós tételek, de a korlátosság nem, ahogy azt a Liouville-tétel mutatja.

Egy másik alkalmazásban $g=0$: Ha $G$ tartomány, $f$ holomorf, és $f$ nullhelyeinek van torlódási pontja, akkor $f\equiv 0$ a teljes $G$ tartományon.

Ha $G$ tartomány, akkor az itt holomorf függvények nullosztómentes gyűrűt alkotnak. Ez azt jelenti, hogy ha $fg\equiv 0$, akkor $f\equiv 0$ vagy $g\equiv 0$. Legyen $f,g\colon G\to \mathbb {C}$ holomorf, továbbá $f\not \equiv 0$ és $fg\equiv 0$. Ekkor van egy $z_{0}$ pont $G$-ben, és ennek egy $U$ környezete, hogy $f(z)\neq 0$ minden $z\in U$ esetén. Ekkor azonban a fenti speciális eset miatt $g|_{U}\equiv 0$.

Bizonyítás

A tétel élesíthető, mivel a tartományok összefüggők.

Állítás

Legyen $G\subseteq \mathbb {C}$ tartomány, és ezen $f$ és $g$ holomorf függvények. A következők ekvivalensek:

1. $f(z)=g(z)$ minden $z\in G$ esetén.
2. Az $\{z\in G\mid f(z)=g(z)\}$ halmaznak torlódási pontja van $G$-ben.
3. Van egy $z\in G$, úgy, hogy $f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z)$ minden $n\in \mathbb {N} _{0}$ esetén, azaz van egy $G$ pont, ahol a függvények és összes deriváltjaik egyeznek.

Bizonyítás

Először is feljegyezzük azt, hogy a holomorf függvények analitikusak, azaz a tartomány minden pontjának egy környezetében Taylor-sorba fejthetők.

A 2. azonnal következik az elsőből, hiszen a tartomány minden pontja torlódási pont.

A 3. indirekt bizonyítható a 2.-ból. Jelölje $z_{0}$ a 2.-ban jelzett halmaz torlódási pontját! Feltehető, hogy $z_{0}=0.$ Feltesszük továbbá, hogy van $n\in \mathbb {N} _{0}$, hogy $f^{(n)}(0)\neq g^{(n)}(0)$. Legyen $N$ ezek közül a legkisebb! Ekkor nulla egy környezetében $f(z)-g(z)=z^{N}h(z)$, hogy $h(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(N+n)}(0)-g^{(N+n)}(0)}{(N+n)!}}z^{n}$ és $h$ nullhelyeinek halmaza éppen az a halmaz, ahol a két függvény egybeesik, mivel $h$ folytonos. Továbbá $0=h(0)={\frac {f^{(N)}(0)-g^{(N)}(0)}{N!}}$ ellentmond $N$ minimális voltának.

Az 1. következik a 3.-ból. nnek belátásához hivatkozunk a tartomány összefüggőségére. Elég azt megmutatni, hogy $A=\{z\in G|\forall n\in \mathbb {N} _{0}:f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z)\}$ nem üres, zárt és nyílt $G$-ben. Az első követezik az előfeltevésből. A második látható abból, hogy $\textstyle A=\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{0}}A_{n}$, ahol $A_{n}=\{z\in G|f^{(n)}(z)=g^{(n)}(z)\}=(f^{(n)}-g^{(n)})^{-1}(\{0\})$ a $\{0\}$ zárt halmaz folytonos ősképeként zárt kell, hogy legyen, és zárt halmazok metszete zárt. Végül $A$ nyílt, hiszen ha $z\in A$, akkor $f-g$ analitikus függvény, $z$ egy környezetében előáll Taylor-sorából, ami azonosan nulla. Ezek a környezetek részei $A$-nak.

Forrás

• E. Freitag & R. Busam - Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, 4. Auflage, ISBN 3-540-67641-4

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Identitätssatz für holomorphe Funktionen című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.