Zárt halmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A geometriában, a topológiában és a matematika kapcsolódó területein az a halmaz zárt, amelynek komplementere nyílt. Ekvivalensen, a halmaz minden határpontját tartalmazza. Továbbá egy halmaz akkor és csak akkor zárt, ha megegyezik lezártjával.

A zárt halmaz nem tévesztendő össze a zárt sokasággal.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A valós számok szokásos topológiájában az [a,b] alakú zárt intervallumok zártak.
  • A [0,1] intervallum zárt a valós számok részhalmazaként, és [0,1] ∩ Q, a nulla és egy közötti, a határokat is beleértve racionális számok halmaza zárt részhalmaza a racionális számoknak, viszont a valós számoknak nem zárt részhalmaza.
  • Vannak olyan halmazok, amelyek se nem nyíltak, se nem zártak. Például a [0,1) alulról zárt, felülről nyílt intervallum, nem zárt, és nem nyílt.
  • Vannak halmazok, amelyek nyíltak is és zártak is. Ilyen például az üres halmaz, vagy a teljes topologikus tér.
  • Az [1, +∞) intervallum zárt.
  • A Cantor-halmaz is zárt.
  • A Hausdorff-terekben az egyes pontok zártak.
  • Ha X és Y topologikus terek, és az f függvény folytonos, akkor az Y-beli zárt halmazok ősképei is zártak.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A zárt halmaz tartalmazza a határát. Mivel a halmaz komplementere nyílt, ezért a halmazon kívül akármilyen irányba elmozdulva egy kicsit még mindig a halmazon kívül maradunk.

Zárt halmazok akármekkora metszete zárt, akár végtelen soké is, és véges sok zárt halmaz uniója is zárt. Végtelen sok zárt halmaz uniója akár nyílt is lehet. A megszámlálható sok zárt halmaz uniójaként kapott halmazokat Fσ halmazoknak nevezik.

Az üres halmaz zárt, és a teljes topologikus tér is zárt. Ha megadunk egy halmazt, és részhalmazok egy olyan rendszerét, amelynek tulajdonságai a fentiek, és eleme az üres és a teljes halmaz is, akkor ez meghatároz egy topológiát az adott halmazon.

A metszet tulajdonság lehetővé teszi a halmazok lezárását. Egy halmaz lezártja az a legszűkebb zárt halmaz, amely tartalmazza. Ez előállítható az összes, az adott halmazt tartalmazó halmaz metszeteként.

Részletes tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A ponthalmazok topológiájában zárt az a halmaz, amely tartalmazza a határát.

A nyílt halmazos definíció topologikus terekben értelmezhető, azaz olyan terekben, amelyeknek topologikus szerkezetük van. Így megjelenhetnek metrikus terekben, differenciálható sokaságokban, uniform terekben és pszeudometrikus terekben.

A zárt halmazok jellemezhetők sorozatokkal és hálókkal is. Az X topologikus tér egy A részhalmaza zárt akkor és csak akkor, ha az A pontjaiból alkotott összes háló összes határpontja továbbra is A-beli. Ha az X tér minden pontjának van megszámlálható környezetbázisa, mint a metrikus terekben, akkor az összes háló helyett elég a konvergens sorozatokat venni. Ez az általánosabb jellemzés lehetővé teszi a zárt halmaz fogalmának kiterjesztését a topologikus tereknél tágabb konvergenciaterekre. Ez a jellemzés az egész X topologikus teret veszi számításba, ezért nem mindegy, hogy X mely pontokat tartalmazza.

Egy halmaz zárt volta függ attól a tértől, aminek része. A kompakt Hausdorff-terek azonban abszolút zártak, tehát akármely Hausdorff-térbe beágyazva zártak maradnak. A Stone-Čech kompaktifikáció leírható úgy is, hogy a Hausdorff-terek nem konvergens hálóihoz határpontokat rendel.

Kompakt terek zárt részhalmazai kompaktak, és a Hausdorff-terek kompakt részhalmazai zártak.

A zárt halmazok hasznos jellemzést adnak a kompaktságra: egy topologikus tér akkor és csak akkor kompakt, ha minden, nem üres zárt részhalmazaiból alkotott halmazrendszer, aminek üres a metszete, tartalmaz véges, üres metszetű részrendszert is.

Egy topologikus tér nem összefüggő, ha előáll két zárt, diszjunkt részhalmazának uniójaként. Totálisan összefüggéstelen, ha van zárt halmazokból álló nyíltbázisa.

Az euklideszi térben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha F az \mathbb{R}^n n-dimenziós euklideszi részhalmaza, akkor a fenti zártságdefiníció ekvivalens a következővel:

Minden F-en kívüli x \in \mathbb{R}^n-hez van  \varepsilon > 0, hogy minden y \in \mathbb{R}^n ahol \|x - y\| < \varepsilon, szintén F-en kívüli.

Ez tulajdonképpen a komplementer nyíltságát jelenti.

Az ε szám választása az adott x ponttól függ, azaz minden pontra más ε a jó. Az x-hez ε-nál közelebb levő pontok halmaza nyílt gömb, mert a felszín nem tartozik hozzá. A zárt gömbök a belsejük mellett a határukat is tartalmazzák, tehát ha \|x - y\| \leq \varepsilon, akkor y eleme az x közepű, ε sugarú zárt gömbnek.

\mathbb{R}^n minden zárt részhalmaza előáll megszámlálható sok nyílt intervallum metszeteként. Például [0,1] a \textstyle \left(-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n} \right) alakú intervallumok metszete, ahol n befutja a pozitív egészek (természetes számok) halmazát.

Metrikus terekben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen (X,d) metrikus tér, és F részhalmaza X-nek. Ekkor F zárt, ha:

Minden x X \setminus F-beli ponthoz van egy valós \varepsilon > 0, hogy X minden y pontjára: Hogyha d(x,y) < \varepsilon, akkor y X \setminus F-an fekszik.

Megjegyzés: \varepsilon választása x csak x-től függ.

Ez ekvivalens a következővel: ha (a_n) F-beli pontok sorozata, amely X-ben konvergens, akkor határértéke is F-beli.

Metrikus terekben azok az y pontok, amelyek egy adott x ponttól legfeljebb ε távolságra vannak, zárt gömböt alkotnak. Formálisan:

\overline{B}_r(x) := \{ y \in X | d(x,y) \leq r \}

és ez az X-beli halmaz x középpontú, r > 0 sugarú zártt gömb.

A zárt gömb tartalmazza a határát, hiszen amely pontok középponttól vett távolsága megegyezik a sugárral, azok is a gömbhöz tartoznak. A norma (matematika) cikkben példák láthatók arra, hogy a normált terekben nem mindig kör vagy gömb alakúak a gömbök.

A gömbök felhasználásával átfogalmazható a definíció:

Legyen (X,d) metrikus tér. Ekkor X egy F részhalmaza zárt, ha:

 \forall {x \in X\setminus F}: { \exist \varepsilon} > {0} : B_\varepsilon(x) \cap F = \emptyset

Ez a definíció megfelel az euklideszi terekben szokásos definíciónak.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]