Ugrás a tartalomhoz

σ-algebra

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A σ-algebra (szigma-algebra) vagy Borel-féle halmaztest, illetve mérhető tér a matematikai struktúrák egy fajtája. Olyan egyszerű (nem-többszörös), egykomponensű topologikus struktúra, amely amellett, hogy egyszerű halmaztestet (halmazalgebrát) képez, az elemei (az ún. „mérhető/nyílt halmazok”) legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok tagú egyesítésére is zárt.

Formális definíció

[szerkesztés]

Axiómák

[szerkesztés]

Legyen tetszőleges halmaz, az részhalmazaiból álló hatványhalmaz, és legyen az részhalmazainak egy halmaza.

Az halmazt az halmaz feletti σ-algebrának nevezzük, ha teljesülnek a következő tulajdonságok:

1. nem üres, azaz .

2. tartalmazza bármely eleme (-ra vonatkozó) komplementerét, vagyis zárt a komplementerképzés műveletére, azaz .

3. tartalmazza bármely legfeljebb megszámlálható halmazcsaládja unióját, vagyis zárt a megszámlálható unióképzésre, azaz .

A 3. axiómából ered a fogalom elnevezése, mivel az -t régies jelöléssel -nak is szokás írni, vagyis az az egyik követelmény, hogy a halmazok görög nagy szigma betűvel jelölt végtelen szummája is a halmazalgebrába tartozzon. E tulajdonságot egyébként röviden σ-zártságnak szokás nevezni.

Amint a halmazalgebra cikkben olvasható, az 1. axióma helyettesíthető akár az " tartalmazza az üres halmazt (-t, avagy a valószínűségszámításban a lehetetlen eseményt)", akár az " tartalmazza az univerzális halmazt (-t, avagy a valószínűségszámításban a biztos eseményt)" tulajdonsággal, azaz az , vagy akár az axiómákkal, a 2. axióma pedig helyettesíthető az " zárt a különbségképzésre", azaz axiómával is.

Mérhető tér

[szerkesztés]

Az rendezett párt mérhető térnek nevezzük, elemeit pedig mérhető halmazoknak.

Összefüggés más struktúratípusokkal

[szerkesztés]

A σ-algebrához legközelebbi struktúrafajta a λ-rendszer fogalma. Ezek fogalmához úgy jutunk, hogy a σ-zártság követelményét meggyengítjük, és csak a páronként diszjunkt unióra zártságot követeljük meg. Egy halmazcsalád pontosan akkor szigma-algebra, ha λ-rendszer és π-rendszer (azaz megszámlálható metszet-zárt) is egyben.[1]

Ha a 3. axióma helyett az a gyengébb követelményt állítjuk fel, hogy A véges sok tagjának egyesítésére legyen mindig csak feltétlenül zárt; akkor az egyszerű halmaztest fogalmát kapjuk. Ha viszont megerősítjük a 3. axiómát úgy, hogy nemcsak megszámlálható, de megszámlálhatatlanul végtelen családok egyesítésére való zártságát is megköveteljük; s egyúttal a 2. axiómát úgy gyengítjük meg, hogy a különbségre zártság helyett csak a metszetre való zártságot követeljük meg, a topologikus tér fogalmát kapjuk. Belátható, hogy ez tényleg gyengébb követelmény [2]

Bár egy egykomponensű topologikus struktúra igazából egy halmazból és egy efeletti egyetlen halmazcsaládból képezett rendezett pár, a Borel-féle halmaztesten nem ezt, hanem e párnak csak a második tagját szokás érteni. Tehát az Ω feletti Borel-féle halmaztest vagy σ-algebra az Ω részhalmazainak egy megfelelő A halmaza. Magát az (Ω, A) párt mérhető térnek szokás nevezni (a Borel-féle halmaztest és a mérhető tér fogalma közti különbség általában kevéssé releváns).

Halmazelméleti-algebrai tulajdonságok

[szerkesztés]

Halmazalgebra

[szerkesztés]

Tetszőleges σ-algebra egyben halmazalgebra is, tehát zárt a véges metszetképzésre, illetve az összes tag uniója megegyezik az Ω tartóhalmazzal (l. o.).

Megszámlálható metszetképzésre való zártság

[szerkesztés]

A halmazalgebrákhoz képest egy σ-algebra a megszámlálhatóan végtelen sok tényezős metszetképzésre is zárt. E kijelentés alapja a de Morgan-törvény általánosítása végtelen unióra/metszetre: ha tetszőleges indexhalmaz, akkor

.

Képezve mindkét oldal komplementerét:

.

Ha mármost σ-algebrában vagyunk, azaz A0, A1, …, An, … legfeljebb megszámlálható sok tagú -beli halmazsorozat, akkor a fentieknek megfelelően

.

Ha σ-algebra, akkor minden -re, és így az utóbbi komplementerhalmazok diszjunkt uniója is eleme -nak, ■ QED.

Leszűkítés

[szerkesztés]

Legyen Ω tetszőleges halmaz, Λ⊆Ω és A σ-algebra az Ω felett. Legyen továbbá A := {X∩Λ | XA}. Ekkor (Λ, A) mérhető tér az Ω felett, amit az (Ω A) tér Λ-ra vonatkozó leszűkítésének nevezünk és (Ω A) jelöl.

Generált algebra

[szerkesztés]

Igen fontos eszköz a σ-algebrák definiálásakor a következő tétel által leírt konstrukció:

Tétel: Legyen Ω tetszőleges halmaz, és GP(Ω) az Ω részhalmazainak egy családja! Ekkor létezik olyan Ω feletti σ(G) σ-algebra, amelynek A minden eleme a tagja; és amely a legszűkebb (legkisebb) a ⊆ relációra nézve; azaz bármely más, az R elemeit elemként tartalmazó σ-algebrának a részhalmaza (további részletek a fő szócikkben).

Szorzattér

[szerkesztés]

Ha (Φ, X) és (Ψ, Y) két mérhető tér, akkor a (Φ×Ψ, σ(X×Y)) is mérhető tér. Ezt a két mérhető tér által generált szorzattérnek vagy szorzat-σ-algebrának mondjuk.

Példák

[szerkesztés]
  1. Tetszőleges nemüres Ω halmaz felett σ-algebrát alkot a csak az üres és az univerzális halmazból álló kételemű {∅, Ω} halmaz, ez az Ω feletti triviális σ-algebra.
  2. Tetszőleges nemüres Ω halmaz esetén a teljes Ω⊆P(Ω) halmaz is halmazalgebra, az Ω feletti teljes σ-algebra.
  3. Tetszőleges véges Ω halmaz feletti halmazalgebra mindig σ-algebra is, hiszen bármely végtelen uniónak effektíve csak véges sok tagja van (értve ezen azt, hogy a tagok közül csak véges sok lehet különböző, hiszen véges halmaznak csak véges sok részhalmaza – így az efeletti σ-algebráknak csak véges sok tagja – lehet). Így például az Ω := {1,2,3,4,5,6} feletti egy Borel-halmaztest a {∅, {1,3,5}, {2,4,6}, Ω} halmaz. Valószínűségszámítási szempontból ez azért tanulságos példa, mert jelzi, hogy egy eseményalgebrának nem szükséges minden kimenetelt mint elemi eseményt (az Ω egyelemű halmazait) tartalmaznia (ha mindegyiket tartalmazza, akkor véges Ω esetében épp a teljes eseményalgebráról van szó). Ld. még atomhalmaz.
  4. Fontosabb, de bonyolultabban definiálható példák a generált σ-algebra c. fejezetben.

Hivatkozások

[szerkesztés]

Lásd még

[szerkesztés]

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. Ambar N. Sengupta: Sigma Algebras Archiválva 2006. szeptember 9-i dátummal a Wayback Machine-ben (PDF-jegyzet, v. 2007. augusztus 5.).
  2. Pl. az Ψ = {1,2} halmazon az A = {∅, {1}, {1,2}} halmaz egy topológiát alkot, zárt az unióra és a metszetképzésre, de nem alkot σ-algebrát: az {1,2}\{1} = {2} halmaz nem tagja A-nak.

További információk

[szerkesztés]