Zéta-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Zéta-eloszlás:valószínűségi tömeg függvény
Zéta-eloszlás:kumulatív eloszlás függvény

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a zéta-eloszlás egy diszkrét valószínűség eloszlás.[1]

Ha X egy zéta-eloszlású valószínűségi változó, s paraméterrel, akkor annak a valószínűségét, hogy X felveszi a k egész értéket, a valószínűségi tömeg függvény adja meg:

ahol ζ(s), a Riemann zéta-függvény (mely nem definiált s = 1 esetén). A zéta-eloszlás ekvivalens a Zipf-eloszlással, végtelen N-re.

A ‘zéta-eloszlás’t, és a ‘Zipf-eloszlás’t gyakran felcserélik.

Momentumok[szerkesztés]

Az n-edik nyers momentum definíciója, ahol Xn, a várható érték:

A jobboldalon látható sor, éppen a Riemann zéta-függvény, de az csak s-n-hez konvergál. Így:

Megjegyezzük, hogy a zéta-függvény jól definiált, még n ≥ s − 1 esetben is, mert a sor analitikusan folytatható. Ez nem változtat azon a tényen, hogy a momentumot maga a sor definiálja, és ezért nagy n-re nem definiált.

Momentum generáló függvény[szerkesztés]

Definíció szerint:

A sor éppen a polilogaritmus definíciója, mely esetben érvényes, így:

A függvény Taylor-soros kiterjesztése nem eredményezi szükségszerűen az eloszlás momentumát. A momentumot használó Taylor-sor előfordul a momentum generáló függvényben

mely nyilvánvalóan nem jól definiált s bármely véges értékére, mert a momentum végtelen lesz nagy n-eknél. Ha az analitikusan folytatódó kifejezést használjuk a momentum helyett, akkor a polilogaritmus sorba fejtett változatát kapjuk:

ha .  :

ahol Hs egy harmonikus szám.

Az s = 1 esete[szerkesztés]

ζ(1) végtelen, mint a harmonikus sor, és így s = 1 esetének nincs értelme. Azonban, ha A bármely halmaza pozitív egészeknek, melynek van sűrűsége, például, ha

létezik, ahol N(An) A tagjainak száma, kisebb vagy egyenlő n, akkor

egyenlő a sűrűséggel. Ez utóbbi határérték létezhet, akkor is, ha A-nak nincs sűrűsége. Ha például, A egy olyan pozitív egészekből álló halmaz, ahol d az első szám, akkor annak ellenére, hogy a fentebbi második limit létezik, és arányos

mely hasonló a Benford-törvénnyel.

Irodalom[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]