Lévy-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén a Lévy-eloszlás olyan folytonos valószínűség-eloszlás, mely nem negatív valószínűségi változókra érvényes.

Az eloszlás Paul Pierre Lévy francia matematikusról kapta a nevét.

A Lévy-eloszlás az inverz gamma-eloszlás speciális esete.

A Lévy-eloszlás azon kevés eloszlások közé tartozik, melyeket stabil eloszlásnak neveznek. Ilyenek még a normális eloszlás, és a Cauchy-eloszlás, melyeknek általában nincs analitikusan kifejezhető valószínűség sűrűségfüggvényük.

Sűrűségfüggvény különböző c-kre

Alkalmazása[szerkesztés]

  • Geomágneses jelenségek közel Lévy-eloszlást követnek
  • A Brown mozgáskor egy pont Lévy-eloszlás szerint mozog
  • Zavaros közegben egy foton pályája Lévy-eloszlást mutat[1]

Definíció[szerkesztés]

A sűrűségfüggvény a tartományban:

ahol a helyparaméter, és a skálaparaméter. A kumulatív eloszlásfüggvény:

ahol a hibafüggvény.

A helyparaméter hatására a görbe értékkel eltolódik jobbra. A Lévy-eloszlásnak, mint minden stabil eloszlásnak, van egy standard formája f(x;0,1), melynek a következő jellemző tulajdonsága van:

ahol y:

A karakterisztikus függvény:

A stabil eloszlásoknál a karakterisztikus függvényt , és esetekre fel lehet írni:

Feltételezve, hogy a , az nik momentum az eltolatlan Lévy-eloszlásnál:

mely divergál minden n> 0 esetében, így a Lévy-eloszlás momentumai nem léteznek. A momentum generáló függvény:

mely t>0-nál divergál, ezért nem definiálható zéró közeli tartományokban, és ezért nem definiálható saját magában. Mint minden stabil eloszlásnál, kivéve a normális eloszlást, a sűrűségfüggvény “szárnyai” viselkedése:

Ezt az alábbi ábra mutatja, ahol a sűrűségfüggvény látható különböző c és értékek mellett, log-log ábrázolásban:

Sűrűségfüggvény különböző c értékeknél

Kapcsolódó eloszlások[szerkesztés]

  • Ha , akkor
  • Ha , akkor (inverz gamma eloszlás)
  • A Lévy-eloszlás 5. tipusú Pearson-eloszlás
  • Ha (Normális eloszlás), akkor
  • Ha , akkor
  • Ha , akkor (Stabil eloszlás)
  • Ha akkor (Skálázott inverz khí-négyzet eloszlás)
  • Ha , akkor (Féloldalas normális eloszlás)

Jellemzők[szerkesztés]

  • Tartomány =
  • Sűrűségfüggvény =
  • Kumulatív eloszlás f. =
  • Várható érték =
  • Medián =, for
  • Módusz =, for
  • Szórásnégyzet =
  • Ferdeség =nem definiált
  • Lapultság = nem definiált
  • Entrópia =

ahol az Euler-állandó

  • Momentgeneráló függvény = nem definiált
  • Karakterisztikus függvény=

Irodalom[szerkesztés]

1. * Rogers, Geoffrey L: Multiple path analysis of reflectance from turbid media. (hely nélkül): Journal of the Optical Society of America A, 25:11. 2008. 2879–2883. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. Rogers, Geoffrey L, Multiple path analysis of reflectance from turbid media. Journal of the Optical Society of America A, 25:11, p 2879-2883 (2008).