Viriáltétel

A mechanikában a viriáltétel általános összefüggést ad valamely, helyzeti erők által határolt, N részecskét tartalmazó stabil rendszer időbeli átlagos teljes kinetikus energiája ($\left\langle T\right\rangle$) és időbeli átlagos teljes helyzeti energiája ($\left\langle V_{\text{TOT}}\right\rangle$) között (a szögletes zárójelek a zárójelben lévő mennyiség időbeli átlagát jelölik). Matematikailag az elmélet állítása:

$2\left\langle T\right\rangle =-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle$

ahol F_k a k-ik részecskére ható erő, mely az r_k pozícióban van.

A ’viriál’ szó a latin 'vis'-ből származik, mely erőt, vagy energiát jelent. A definíciót Rudolf Clausius német fizikus adta meg 1870-ben. A viriáltétel jelentősége az, hogy lehetővé teszi az átlagos kinetikus energia kiszámítását, még komplikált rendszerek esetén is, amikor a statisztikai mechanika módszereivel ez nem oldható meg. Ez az átlagos, és teljes kinetikus energia az ekvipartíció-tételhez hasonlóan kapcsolódik a rendszer hőkapacitásához. A viriáltétel akkor is érvényes, ha egy rendszer nincs termikus egyensúlyi állapotban. A viriáltételt sokféleképpen szokták általánosítani, a legjobban ismert eljárás, a tenzoros forma. Ha egy rendszerben két részecske között ható erő a potenciális energiából V(r) = αr ⁿ származik, akkor ez arányos a részecskék közötti átlagos távolsággal r, és felírhatjuk az elmélet egyszerűbb formuláját:

$2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .$

Vagyis a teljes átlagos kinetikus energia $\left\langle T\right\rangle$ kétszerese egyenlő az átlagos teljes helyzeti energia n-szeresével $\left\langle V_{\text{TOT}}\right\rangle$. A V(r), két részecske közötti helyzeti energia, V_TOT a rendszer teljes helyzeti energiája, azaz, a V(r), helyzeti energiák szummája, az összes részecskepárra vonatkozik. Egy példa az ilyen rendszerekre a csillag, melyet saját gravitációja tart össze, ahol n egyenlő −1.

Definíciók

N számú részecske esetén az I a tehetetlenség skalár momentuma (lendülete):

$I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}|\mathbf {r} _{k}|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}$

ahol m_k és r_k jelölik a k-ik részecske tömegét és pozícióját. . r_k=|r_k| a vektor pozíció vektor nagyságrendje. A skalár viriális G:

$G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}$

ahol p_k a k –ik részecske momentum vektora. Feltételezve, hogy a tömegek állandóak, a viriális G, fele a tehetetlenségi momentum idő szerinti deriváltja

${\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.$

fordítva:

${\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\,,\end{aligned}}$

ahol m_k a k-ik részecske tömege, $\mathbf {F} _{k}={\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}$ a tiszta erő, mely a részecskére hat, és T a rendszer teljes kinetikus energiája: $T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.$

Általánosítás

1903-ban Lord Rayleigh publikált egy általánosítást a viriáltételre. Henri Poincaré a kozmológia stabilitással kapcsolatban használta a viriáltétel egy képletét. Ledoux, 1945-ben fejlesztett ki egy változatot az elméletre. Egy tenzoros formulát fejlesztett Parker. Chandrasekhar és Fermi. Pollard 1964-ben publikálta a viriális elmélet általánosítását az inverz négyzetes törvény esetére : $2\lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }\langle U\rangle _{\tau }$ igaz, és csak akkor igaz, ha $\lim \limits _{\tau \rightarrow +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0.$ .

Az elektromágneses tér és a viriáltétel

A viriáltétel kiterjeszthető az elektromágneses térre. Az eredmény:

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},$

ahol I a tehetetlenségi momentum, a G az elektromágneses tér momentum sűrűsége, T a folyadék kinetikus energiája, U a részecskék véletlenszerű termikus energiája, W^E és W^M az elektromos – és elektromágneses energiák. p_ik a folyadék-nyomás tenzor, a lokális mozgó koordináta-rendszerben kifejezve.

$p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },$

és T_ik az elektromágneses nyomás tenzor,

$T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).$

A plazmoid, a mágneses tér és a plazma végső konfigurációja. A viriáltétel alapján könnyen belátható, hogy ilyen konfiguráció létrejöhet, ha nem éri külső erőhatás. Nyomás nélkül a felületi integrál eltűnik az ilyen végső konfigurációnál.. Mivel az összes jobb oldali kifejezés pozitív, a tehetetlenségi momentum gyorsulása szintén pozitív lesz. A kiterjedési időt is egyszerű megjósolni τ. Ha a teljes tömeget, M egy R átmérő korlátozza, akkor a tehetetlenségi momentum nagyjából MR², és a bal oldal MR²/τ². A jobb oldali kifejezések összeadódnak közel pR³-é, ahol p a nagyobb plazma nyomás vagy mágneses nyomás. E kettő kifejezést egyenlővé téve, és megoldva τ-re, kapjuk:

$\tau \,\sim R/c_{s},$

ahol c_s az ion-akusztikus hullám (vagy Alfvén-hullám, ha a mágneses nyomás magasabb,mint a plazma nyomás) sebessége. Így a plazmoid várható élettartama az akusztikus vagy Alfvén-hullám átmeneti ideje lesz.

Asztrofizika

A viriáltételt gyakran alkalmazzák az asztrofizikában, különösen a gravitációs helyzeti energia, és a kinetikus-, vagy termikus energia összefüggésében. Egy általános viriális összefüggés: ${\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{B}T}{m_{p}}}={\frac {1}{2}}v^{2}$, ahol $M$, a tömeg, $R$,az átmérő $v$, a sebesség, és $T$, a hőmérséklet A konstansok: Gravitációs állandó: $G$, Boltzmann-állandó: $k_{B}$, Proton tömege: $m_{p}$.

Galaxisok és kozmológia

Az asztronómiában, a galaxisok méretét és tömegét gyakran a „viriális átmérő”, és a „viriális tömeg” kifejezéseivel határozzák meg. A galaxisok méreteit igen nehéz meghatározni. A viriáltétel gyakran kényelmes módszert ad ezen mennyiségek maghatározására. A galaxisok dinamikájába, a tömeg meghatározása gyakran a gázok és csillagok forgási sebességével történik, feltételezve a kepleri pályákat. A viriáltételt alkalmazva felhasználható a sebesség diszperzió, $\sigma$. Ha vesszük a részecskénti kinetikus energiát, T = (1/2) v² ~ (3/2) M $\sigma$², és a potenciális energiát: U ~ (3/5)(GM/R), irhatjuk: ${\frac {GM}{R}}\approx \sigma ^{2}$. Itt az $R$ az átmérő, $M$ , az átmérőn belüli tömeg. A viriális tömeget, és átmérőt általában arra az átmérőre határozzák meg, ahol a sebesség diszperzió maximum: ${\frac {GM_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}}\approx \sigma _{\text{max}}^{2}$. Ezek az összefüggések nagyságrendi információt adnak. Egy alternatív meghatározás: Mivel az átmérőt igen nehéz megfigyelni, gyakran közelítik úgy, hogy a sűrűség nagyobb egy specifikus tényezővel, mint a kritikus sűrűség, $\rho _{\text{crit}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}$, ahol a $H$ a Hubble-paraméter, és a $G$ a gravitációs állandó. Egy általánosan használt tényező a 200. Így a viriális tömeg az átmérőhöz képest: $M_{\text{vir}}\approx M_{200}=(4/3)\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit}}$.

Irodalom

• Collins, G. W: The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. (hely nélkül): Pachart Press. 1978.  

További információk

• http://www.mathpages.com/home/kmath572/kmath572.htm
• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/astro/gravc.html#c2

Kapcsolódó szócikkek

• Plazma
• Plazmoid
• Hubble-paraméter
• Alfvén-hullám
• Hőkapacitás

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Virial theorem című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.