Távolságtranzitív gráf

Gráfcsaládok automorfizmusukkal meghatározva
távolságtranzitív	${\boldsymbol {\rightarrow }}$	távolságreguláris	${\boldsymbol {\leftarrow }}$	erősen reguláris
${\boldsymbol {\downarrow }}$
szimmetrikus	${\boldsymbol {\leftarrow }}$	t-tranzitív, t ≥ 2		ferdeszimmetrikus
${\boldsymbol {\downarrow }}$
(ha összefüggő) csúcs- és éltranzitív	${\boldsymbol {\rightarrow }}$	éltranzitív és reguláris	${\boldsymbol {\rightarrow }}$	éltranzitív
${\boldsymbol {\downarrow }}$		${\boldsymbol {\downarrow }}$		${\boldsymbol {\downarrow }}$
csúcstranzitív	${\boldsymbol {\rightarrow }}$	reguláris	${\boldsymbol {\rightarrow }}$	(ha páros) bireguláris
${\boldsymbol {\uparrow }}$
Cayley-gráf	${\boldsymbol {\leftarrow }}$	zérószimmetrikus		aszimmetrikus

A matematika, azon belül a gráfelmélet területén egy távolságtranzitív gráf (distance-transitive graph) olyan reguláris gráf, melynek bármely két, i távolságra lévő v és w csúcsát és ugyanolyan távolságra lévő tetszőleges x és y csúcsút tekintve van olyan automorfizmus, ami v-t x-be, illetve w-t y-ba viszi. A távolságtranzitív gráfokat elsőként Norman L. Biggs és D. H. Smith definiálták, 1971-ben.

A távolságtranzitív gráfok főleg azért érdekesek, mert nagy automorfizmus-csoporttal rendelkeznek. Egyes érdekes véges csoportok távolságtranzitív gráfok automorfizmus-csoportjaként állnak elő, főleg azok, melyek 2 átmérőjűek.

Példák

Néhány példa távolságtranzitív gráfcsaládokra:

• A Johnson-gráfok.
• A Grassmann-gráfok.
• A Hamming-gráfok (benne a hiperkockagráfok, teljes gráfok, négyzetes bástyagráfok)
• hajtott kockagráfok (folded cube graphs).

A távolságtranzitív gráfok osztályozása

A legnagyobb 3-reguláris távolságtranzitív gráf, a Biggs–Smith-gráf.

Az összes, 13-nál nem nagyobb fokszámú véges távolságtranzitív gráf ismert, de a nagyobb fokszámú gráfok osztályozása még nyitott kérdés.

Ezek közül 1971-es bemutatásuk után elsőként Biggs és Smith mutatták meg, hogy csak 12 véges 3-reguláris távolságtranzitív gráf létezik. Ezek a következők:

Gráf neve	Csúcsok száma	Átmérő	Girth	Metszési tömb
K4 teljes gráf	4	1	3	{3;1}
K3,3 teljes páros gráf	6	2	4	{3,2;1,3}
Petersen-gráf	10	2	5	{3,2;1,1}
kockagráf	8	3	4	{3,2,1;1,2,3}
Heawood-gráf	14	3	6	{3,2,2;1,1,3}
Papposz-gráf	18	4	6	{3,2,2,1;1,1,2,3}
Coxeter-gráf	28	4	7	{3,2,2,1;1,1,1,2}
Tutte–Coxeter-gráf	30	4	8	{3,2,2,2;1,1,1,3}
dodekaédergráf	20	5	5	{3,2,1,1,1;1,1,1,2,3}
Desargues-gráf	20	5	6	{3,2,2,1,1;1,1,2,2,3}
Biggs–Smith-gráf	102	7	9	{3,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,1,1,3}
Foster-gráf	90	8	10	{3,2,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,2,2,2,3}

Távolságreguláris gráfokkal való kapcsolata

Minden távolságtranzitív gráf távolságreguláris (azok általánosításai), de fordítva nem feltétlenül van így.

1969-ben egy Georgij Adelson-Velszkij vezetésével működő orosz munkacsoport kimutatta, hogy léteznek olyan távolságreguláris gráfok, melyek nem távolságtranzitívak. A legkisebb ilyen tulajdonságú gráf a Shrikhande-gráf, a 3-reguláris gráfok közül pedig az egyetlen a 126 csúcsból álló Tutte 12-cage.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Distance-transitive graph című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

Korai cikkek

• Adel'son-Vel'skii, G. M.; Veĭsfeĭler, B. Ju. & Leman, A. A. et al. (1969), "An example of a graph which has no transitive group of automorphisms", Doklady Akademii Nauk SSSR 185: 975–976.
• Biggs, Norman (1971), "Intersection matrices for linear graphs", Combinatorial Mathematics and its Applications (Proc. Conf., Oxford, 1969), London: Academic Press, pp. 15–23.
• Biggs, Norman (1971), Finite Groups of Automorphisms, vol. 6, London Mathematical Society Lecture Note Series, London & New York: Cambridge University Press.
• Biggs, N. L. & Smith, D. H. (1971), "On trivalent graphs", Bulletin of the London Mathematical Society 3 (2): 155–158, DOI 10.1112/blms/3.2.155.
• Smith, D. H. (1971), "Primitive and imprimitive graphs", The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series 22 (4): 551–557, DOI 10.1093/qmath/22.4.551.

Felmérések

• Biggs, N. L. (1993), "Distance-Transitive Graphs", Algebraic Graph Theory (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 155–163, chapter 20.
• Van Bon, John (2007), "Finite primitive distance-transitive graphs", European Journal of Combinatorics 28 (2): 517–532, DOI 10.1016/j.ejc.2005.04.014.
• Brouwer, A. E.; Cohen, A. M. & Neumaier, A. (1989), "Distance-Transitive Graphs", Distance-Regular Graphs, New York: Springer-Verlag, pp. 214–234, chapter 7.
• Cohen, A. M. Cohen (2004), "Distance-transitive graphs", in Beineke, L. W. & Wilson, R. J., Topics in Algebraic Graph Theory, vol. 102, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, pp. 222–249.
• Godsil, C. & Royle, G. (2001), "Distance-Transitive Graphs", Algebraic Graph Theory, New York: Springer-Verlag, pp. 66–69, section 4.5.
• Ivanov, A. A. (1992), "Distance-transitive graphs and their classification", in Faradžev, I. A.; Ivanov, A. A. & Klin, M. et al., The Algebraic Theory of Combinatorial Objects, vol. 84, Math. Appl. (Soviet Series), Dordrecht: Kluwer, pp. 283–378.

További információk

• Weisstein, Eric W.: Distance-Transitive Graph (angol nyelven). Wolfram MathWorld