Szerkesztő:Andoras/próbalap

Tehetetlenségi nyomaték tenzor

Ugyanannak a testnek a különböző tengelyekre vett tehetetlenségi nyomatéka különböző. Például a három derékszöget bezáró ($x\;$, $y\;$ és $z\;$) koordinátatengelyre vett tehetetlenségi nyomatéka

$\Theta _{xx}=\;$ az $x\;$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

$\Theta _{yy}=\;$ az $y\;$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

$\Theta _{zz}=\;$ a $z\;$ tengellyel párhuzamos, a tömegközépponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték,

nem biztos, hogy egyenlőek, hacsak a test nem szimmetrikus minden tengelyre. A tehetetlenségi nyomaték tenzor segítségével kényelmesen foglalhatjuk egy mennyiségbe egy test összes tehetetlenségi nyomatékát.

Definíció

Egy merev test $N\,$ darab $m_{i}\,$ tömegpontjának tehetetlenségi tenzora az alábbi alakú:

$\mathbf {\Theta } ={\begin{bmatrix}\Theta _{xx}&\Theta _{xy}&\Theta _{xz}\\\Theta _{yx}&\Theta _{yy}&\Theta _{yz}\\\Theta _{zx}&\Theta _{zy}&\Theta _{zz}\end{bmatrix}}$.

Elemei az alábbiak szerint definiálhatók:

$\Theta _{xx}\ {=}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!$,

$\Theta _{yy}\ {=}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})\,\!$,

$\Theta _{zz}\ {=}\ \sum _{i=1}^{N}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\,\!$,

$\Theta _{xy}=\Theta _{yx}\ {=}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}x_{i}y_{i}\,\!$,

$\Theta _{xz}=\Theta _{zx}\ {=}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}x_{i}z_{i}\,\!$ és

$\Theta _{yz}=\Theta _{zy}\ {=}\ -\sum _{i=1}^{N}m_{i}y_{i}z_{i}\,\!$

derékszögű $(x_{i},y_{i},z_{i})\,$ koordinátákra, ahol az origó a test súlypontjában van. Itt $\Theta _{xx}\,$ jelöli az $x\,$-tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az $x\,$-tengely körül forog, $\Theta _{xy}\,$ jelöli az $y\,$-tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékot, ha a test az $x\,$-tengely körül forog, és így tovább.

Ezeket a mennyiségeket általánosítani lehet folytonos tömegeloszlású testekre is, hasonlóan a skalár tehetetlenségi nyomatékhoz. Írható:

$\mathbf {\Theta } =\int _{V}\left[\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {\delta } -\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right]\ dm$

ahol $\left(\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)_{i,j}=\mathbf {r} _{i}\mathbf {r} _{j}$ és $\mathbf {\delta } \,$ a 3 x 3 egységmátrix.

Redukció skalár alakra

Az $\Theta$ skalár bármely $\mathbf {\hat {n}}$ tengelyre a $\mathbf {\Theta }$ tenzorból számítható kétszeres skalárszorzat segítségével:

$\Theta =\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {\Theta } \cdot \mathbf {\hat {n}} =\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}n_{j}\Theta _{jk}n_{k}$

ahol az összegezés a három derékszögű koordinátára terjed ki.

Fő tehetetlenségi nyomatékok

Mivel a tenzor valós, szimmetrikus mátrix, található olyan derékszögű koordináta-rendszer, melyben diagonálmátrix lesz, vagyis ilyen alakú:

$\mathbf {\Theta } ={\begin{bmatrix}\Theta _{1}&0&0\\0&\Theta _{2}&0\\0&0&\Theta _{3}\end{bmatrix}}$

ahol a koordinátatengelyeket tehetetlenségi főtengelynek hívják és a $\Theta _{1}\,$, $\Theta _{2}\,$ és $\Theta _{3}\,$ állandókat pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak és általában növekvő sorrendbe rendezik:

$\Theta _{1}\leq \Theta _{2}\leq \Theta _{3}$

A főtengelyek irányába eső egységvektorokat általában így jelölik: $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})$.

Ha mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, akkor bármilyen irányú súlyponton átfektetett tengely tehetetlenségi főtengely.

A főtengelyek gyakran esnek a test szimmetriatengelyeire.

Ha egy merev test egy tengelyre $m\,$-ed rendű szimmetriával rendelkezik, vagyis szimmetrikus $360^{\circ }/m\,$ forgatások alatt egy tengelyre, a szimmetriatengely főtengely. Ha $m>2\,$, akkor két fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő. Ha a merev testnek van legalább két szimmetriatengelye, mely nem merőleges egymásra, akkor mindhárom fő tehetetlenségi nyomaték egyenlő, például a kocka ilyen (vagy bármely más szabályos test).

Steiner-tétel

Ha a tehetetlenségi tenzor ismert a súlypontra, hasznos módszer a Steiner-tétellel kiszámítani a súlyponttól eltérő tengelyekre. Ha a forgástengelyt $\mathbf {R} \,$ helyvektorral eltoljuk a súlyponti tengelytől, az új tehetetlenségi tenzor egyenlő:

$\mathbf {\Theta } _{jk}^{\mathrm {displaced} }=\mathbf {\Theta } _{jk}^{\mathrm {centroid} }+M\left[\delta _{jk}\,\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} -R_{j}R_{k}\right]$

ahol $M\,$ a merev test tömege és $\delta _{jk}\,$ a Kronecker delta függvény.

Más mechanikai mennyiségek

A $\mathbf {\Theta }$ tenzor segítségével a mozgási energia kétszeres skalárszorzatként írható:

$E_{k}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}\Theta _{2}\omega _{2}^{2}+{\frac {1}{2}}\Theta _{3}\omega _{3}^{2}$

az impulzusmomentum (perdület) pedig egyszeres skalár szorzatként:

$\mathbf {N} =\mathbf {\Theta } \cdot {\boldsymbol {\omega }}=\omega _{1}\Theta _{1}\mathbf {e} _{1}+\omega _{2}\Theta _{2}\mathbf {e} _{2}+\omega _{3}\Theta _{3}\mathbf {e} _{3}$

A fentiek segítségével a mozgási energia az impulzusmomentum függvényében írható fel a főtengelyek koordináta-rendszerében:

$E_{k}={\frac {N_{1}^{2}}{2\Theta _{1}}}+{\frac {N_{2}^{2}}{2\Theta _{2}}}+{\frac {N_{3}^{2}}{2\Theta _{3}}}\,\!$

ahol $N_{k}\ {=}\ \Theta _{k}\omega _{k}$

$k=1,2,3\,$-re.