„Parabola (görbe)” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Általános parabola egyenlet |
a →Definíciók és áttekintés: link korr, elirasok jav., form |
||
6. sor: | 6. sor: | ||
== Definíciók és áttekintés == |
== Definíciók és áttekintés == |
||
[[Fájl:Parabola showing focus and reflective property.png|196px|bélyegkép|balra|A parabola, mint tükör, a fókusz, a direktrix (zöld) és a vezérsugarak (kék)]] |
[[Fájl:Parabola showing focus and reflective property.png|196px|bélyegkép|balra|A parabola, mint tükör, a fókusz, a direktrix (zöld) és a vezérsugarak (kék)]] |
||
=== A parabola egyenletei === |
=== A parabola egyenletei === |
||
[[ |
[[Koordináta-rendszer|Descartes-féle koordináta-rendszerben]] egy, az ''y'' tengellyel párhuzamos tengelyű parabolának egyenlete, melynek csúcsa (''h'', ''k''), fókuszpontja (''h'', ''k'' + ''p'') és direktrixe ''y'' = ''k'' - ''p'', ahol ''p'' a fókusz távolsága a csúcstól: |
||
:<math>(x - h)^2 = 4p(y - k) \,</math> |
:<math>(x - h)^2 = 4p(y - k) \,</math> |
||
18. sor: | 17. sor: | ||
:<math>(y - k) = \frac{1}{4p}(x-h)^2 \,</math> |
:<math>(y - k) = \frac{1}{4p}(x-h)^2 \,</math> |
||
Általánosabban: a parabola olyan görbe, mely a Descartes-féle derékszögű |
Általánosabban: a parabola olyan görbe, mely a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben az alábbi alakú egyenlettel definiálható: |
||
:<math>A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0\,</math> |
:<math>A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0\,</math> |
||
25. sor: | 24. sor: | ||
=== Más geometriai definíciók === |
=== Más geometriai definíciók === |
||
[[Fájl:Parabola song.png|bélyegkép|300px|Diáknóta a paraboláról]] |
[[Fájl:Parabola song.png|bélyegkép|300px|Diáknóta a paraboláról]] |
||
A parabolát úgy is lehet definiálni, hogy az egy olyan [[kúpszelet]], melynek [[excentricitás]]a 1. Ennek következményeképpen minden parabola [[hasonló]] egymáshoz. A parabola úgy is meghatározható, hogy azoknak az ellipsziseknek a határesete, melyeknek egyik fókuszpontja rögzített, a másik fókuszt pedig tetszőleges távolságba mozdítjuk el. Ebben az |
A parabolát úgy is lehet definiálni, hogy az egy olyan [[kúpszelet]], melynek [[excentricitás]]a 1. Ennek következményeképpen minden parabola [[hasonló]] egymáshoz. A parabola úgy is meghatározható, hogy azoknak az ellipsziseknek a határesete, melyeknek egyik fókuszpontja rögzített, a másik fókuszt pedig tetszőleges távolságba mozdítjuk el. Ebben az értelemben parabola ellipszisként fogható fel, melynek egyik fókusza a [[végtelen]]ben van. A parabola a [[kardioid]] [[inverz transzformált]]ja. |
||
A parabolának egyetlen tükörtengelye van, mely a fókuszán halad át és merőleges a direktrixére. A parabola és tengelye metszéspontját a parabola csúcsának nevezik. Ha a parabolát megforgatjuk tengelye körül, a súrolt felület a forgási [[paraboloid]]. |
A parabolának egyetlen tükörtengelye van, mely a fókuszán halad át és merőleges a direktrixére. A parabola és tengelye metszéspontját a parabola csúcsának nevezik. Ha a parabolát megforgatjuk tengelye körül, a súrolt felület a forgási [[paraboloid]]. |
||
=== Egyenletek === |
=== Egyenletek === |
||
Az egyenletekben szereplő jelölések: (''h'', ''k'') az ellipszis csúcspontja, ''p'' a csúcspont és a fókuszpont közötti távolság (ha a csúcspont a fókusz alatt van vagy, ami ugyanezt jelenti, a direktrix felett, akkor p pozitív egyébként p negatív, hasonlóan vízszintes parabola-tengely esetén p pozitív, ha a |
Az egyenletekben szereplő jelölések: (''h'', ''k'') az ellipszis csúcspontja, ''p'' a csúcspont és a fókuszpont közötti távolság (ha a csúcspont a fókusz alatt van vagy, ami ugyanezt jelenti, a direktrix felett, akkor p pozitív egyébként p negatív, hasonlóan vízszintes parabola-tengely esetén p pozitív, ha a csúcspont balra van a fókusztól, vagy ami ugyanazt jelenti, jobbra a direktrixtől. |
||
==== Descartes- |
==== Descartes-féle koordináta-rendszer ==== |
||
===== Függőleges szimmetria-tengely ===== |
===== Függőleges szimmetria-tengely ===== |
||
:<math>(x - h)^2 = 4p(y - k) \,</math> |
:<math>(x - h)^2 = 4p(y - k) \,</math> |
||
72. sor: | 72. sor: | ||
=== A parabola ívhossza === |
=== A parabola ívhossza === |
||
[[Fájl:Parabolaivhossz.GIF|177px|bélyegkép|jobbra|A parabola ívhossza |
[[Fájl:Parabolaivhossz.GIF|177px|bélyegkép|jobbra|A parabola ívhossza]] |
||
A parabola ívhossza az O csúcsponttól az M pontig a következő (p a parabola paramétere): |
A parabola ívhossza az O csúcsponttól az M pontig a következő (p a parabola paramétere): |
||
A lap 2010. május 29., 21:04-kori változata
- Ez a szócikk egy matematikai fogalomról szól. A parabola más jelentéséhez kattints ide.
A parabola (a görög παραβολή-ből) egy kúpszelet, melyet körkúp-felület és sík metszésekor kapunk, ha a sík párhuzamos a kúp alkotójával. A parabolát úgy is lehet definiálni, hogy azon pontok mértani helye a síkban, melyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól (fókuszpont, vagy gyújtópont) és egy ezen a ponton át nem haladó adott egyenestől (direktrix, vezéregyenes).
Különleges eset lép fel, ha a metszősík a kúpfelület érintősíkja. Ebben az esetben a parabola metszesvonal egyenessé fajul.
Definíciók és áttekintés
A parabola egyenletei
Descartes-féle koordináta-rendszerben egy, az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabolának egyenlete, melynek csúcsa (h, k), fókuszpontja (h, k + p) és direktrixe y = k - p, ahol p a fókusz távolsága a csúcstól:
vagy:
Általánosabban: a parabola olyan görbe, mely a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben az alábbi alakú egyenlettel definiálható:
ahol , az összes együttható valós, A és C nem zéró, és ahol több, mint egy megoldás, mely egy (x, y) pontpárt definiál a parabolán, létezik. Az egyenlet nem redukálható, ez azt jelenti, hogy az egyenlet nem szorzata két szükségszerűen független lineáris tényezőnek.
Más geometriai definíciók
A parabolát úgy is lehet definiálni, hogy az egy olyan kúpszelet, melynek excentricitása 1. Ennek következményeképpen minden parabola hasonló egymáshoz. A parabola úgy is meghatározható, hogy azoknak az ellipsziseknek a határesete, melyeknek egyik fókuszpontja rögzített, a másik fókuszt pedig tetszőleges távolságba mozdítjuk el. Ebben az értelemben parabola ellipszisként fogható fel, melynek egyik fókusza a végtelenben van. A parabola a kardioid inverz transzformáltja.
A parabolának egyetlen tükörtengelye van, mely a fókuszán halad át és merőleges a direktrixére. A parabola és tengelye metszéspontját a parabola csúcsának nevezik. Ha a parabolát megforgatjuk tengelye körül, a súrolt felület a forgási paraboloid.
Egyenletek
Az egyenletekben szereplő jelölések: (h, k) az ellipszis csúcspontja, p a csúcspont és a fókuszpont közötti távolság (ha a csúcspont a fókusz alatt van vagy, ami ugyanezt jelenti, a direktrix felett, akkor p pozitív egyébként p negatív, hasonlóan vízszintes parabola-tengely esetén p pozitív, ha a csúcspont balra van a fókusztól, vagy ami ugyanazt jelenti, jobbra a direktrixtől.
Descartes-féle koordináta-rendszer
Függőleges szimmetria-tengely
-
- .
Paraméteres egyenletek:
Vízszintes szimmetria-tengely
-
- .
Paraméteres egyenletek:
Általános parabola
Általános egyenlet olyan parabolának melynek fókuszpontja F(u, v), és vezéregyenesének egyenlete
az
Semi-latus rectum és polárkoordináták
Polárkoordináták esetén, ha a parabola fókusza az origóban van, és a csúcsa a negatív x-tengelyen helyezkedik el, az egyenlet:
ahol l a semi-latus rectum: a távolság a fókuszponttól a paraboláig a tengelyre merőleges egyenesen mérve.
A parabola ívhossza
A parabola ívhossza az O csúcsponttól az M pontig a következő (p a parabola paramétere):
- kis értékeire érvényes a következő közelítő formula:
Parabolatükör
Ha parabola alakú tükör fókuszába fényforrást helyezünk, a teljes parabola felület a fénysugarakat a tengellyel párhuzamos nyalábban fogja visszatükrözni. Ezt a tulajdonságát használják fényszórók készítésére. Fordítva, ha gyakorlatilag párhuzamos fénnyaláb a tengellyel egyirányban vetődik a parabola alakú tükör felületére, a visszavert sugarak a fókuszban találkoznak. Ha elég nagy a parabola tükör felülete, a Nap összegyűjtött sugarai képesek meggyújtani a fókuszba helyezett gyúlékony anyagot, ezért is hívják a fókuszt gyújtópontnak. A parabolatükröknek ezt a tulajdonságait napkemecék és napkazánok építésénél hasznosítják.
Parabola és a fizika
A parabola nagyon sok fizikai jelenségben megtalálható. A legismertebb jelenség a egy test hajításának parabolikus pályája állandó gravitációjú térben, ha nem hat a légellenállás. Ezt a jelenséget Galilei fedezte fel a 17. század elején, amikor kísérleteket végzett golyók lejtőn való legördülésével. A pálya parabola alakját később Isaac Newton igazolta. Kiterjedt test esésekor, például műugró ugrásakor a test bonyolult mozgásokat végezhet, foroghat stb. de a test tömegközéppontja parabolikus pályán mozog. A parabola pálya, mint alegtöbb esetben itt is csak közelítés. A légellenállás torzítja a pálya alakját, de ez kis sebességeknél elhanyagolható. Nagyobb sebességeknél az az elhanyagolás nem megengedett, a ballisztika más hatásokat is figyelembe vesz.
A kéttestproblémánál például egy kisbolygónak a Nap gravitációs tere következtében fellépő mozgása folyamán is felléphet parabola alakú pálya. Az ilyen parabola alakú pálya speciális eset és ritkán fordul elő a természetben. A hiperbola vagy ellipszis alakú pályák sokkal gyakoribbak. A parabola alakú pálya az előbbiek határesete.
A parabola közelítést a függőhidak kábeleinek alakjánál is használják. A kifeszített kötél pontos alakja ugyan láncgörbe szerinti, de kis belógások esetén jó közelítést ad a parabolával való helyettesítés is.
Forgási paraboloidok szintén gyakran előfordulnak a fizikában. A legismertebb példa a parabolikus tükör, mely fényt vagy más elektromágneses sugárzást (például rádióhullámokat) a fókuszpontba gyűjt. A parabolikus tükröt i. e. 3. században Arkhimédész találta fel, aki a legenda szerint parabolikus tükröt szerkesztett, hogy megvédje Siracusa városát a római hajóhad támadása ellen úgy, hogy a nap sugarait a római hajók fedélzetére koncentrálta és így felgyújtotta azokat. A parabolikus tükröt a 17. században távcsövek készítésére is használni kezdték, a legnagyobb csillagászati távcsövek ma is tükrös teleszkópok. Ma parabolikus antennákat használnak elterjedten a mikrohullámú és mesterséges holdakkal folytatott távközlésben.
A forgó folyadék felszíne szintén parabola alakot vesz fel. Ez a jelenség az alapja a folyékony tükör teleszkópok működésének.
Lásd még
Külső hivatkozások
- Archimedes háromszög
- Parabola két érintője
- Parabolát burkoló egyenesek
- Parabolikus tükör
- Parabola burkolói II
- Parabola szerkesztése
Források
- I.N. Bronstejn-K.A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 6. kiadás (Műszaki könyvkiadó, Budapest 1987.)
- Pattantyús Gépész és villamosmérnökök kézikönyve 2. kötet Műszaki könyvkiadó, Budapest 1961.)