„Szferoid” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a Ne politizáljunk, ahol nem kell. :-) A bal oldal, jobb oldal két szó, ha nem politikai értelemben használjuk; a baloldalt, jobboldalt viszont egybeírandó. Botszerkesztés kézi üzemmódban. |
a Bot: következő hozzáadása: io:Sferoido |
||
97. sor: | 97. sor: | ||
[[es:Esferoide]] |
[[es:Esferoide]] |
||
[[fr:Sphéroïde]] |
[[fr:Sphéroïde]] |
||
[[io:Sferoido]] |
|||
[[it:Sferoide]] |
[[it:Sferoide]] |
||
[[ja:回転楕円体]] |
[[ja:回転楕円体]] |
A lap 2009. december 26., 22:56-kori változata
A szferoid vagy másnéven forgási ellipszoid vagy kéttengelyű ellipszoid egy mértani test, amelyet akkor kapunk, ha egy ellipszist valamelyik tengelye mentén megpörgetünk. A szferoid speciális esete az ellipszoidnak, amikor az ellipszoid három tengelye közül kettő egyforma hosszúságú. A gömb pedig a szferoid speciális esete, amikor a megpörgetett ellipszis kör, vagy másképpen az ellipszoid mindhárom tengelye egyforma hosszú.
Matematikai alakja
Mivel az ellipszoid egyenletében szereplő három tengely közül kettő egyforma, a szferoid egyenlete is leegyszerűsödik az alábbi formára:
ahol X,Y és Z a térbeli koordináták, a és b pedig a megpörgetett ellipszis fél kis-, illetve fél nagytengelye attól függően, hogy az ellipszist a kis- vagy a nagytengelye mentén pörgettük meg.
Térfogata
Jelölje a a nagytengelyt, és b a kistengelyt.
Ekkor a hosszúkás forgásellipszoid térfogata
és a lapítotté
Felszíne
Legyen ismét a a nagytengely, és b a kistengely.
Ekkor a megnyúlt forgásellipszoid felszíne
- ,
és a lapítotté
- .
Gyakorlati jelentősége
A szferoidnak a geometriai fontosságán túlmenően szerepe van a Föld, illetve más égitestek alakjának (például Mars) meghatározásában, a Föld alakja ugyanis igen jól közelíthető szferoiddal.
Tekintve, hogy kis eltérések azért vannak a Föld tényleges alakja és bármely erre illeszkedő szferoid között, geodéziai feladat az adott területre vagy problématípusra kiszámolni a legjobban illeszkedő szferoidot.
Ennek megfelelően az egyes országok különféle szferoidokat használnak térképi/geodéziai alapnak. Magyarország a múlt századi háromszögelési hálózatai alapjául a Bessel-féle ellipszoidot, a II. világháború utáni háromszögeléshez a Kraszovszkij-féle ellipszoidot alkalmazta. Az Egységes Országos Vetületi rendszer EOV létrehozásakor alapfelületként a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió 1967. évi Geodéziai Vonatkozási Rendszerét (Geodetic Reference System), az IUGG GRS 1967 ellipszoidot választották alapnak. A GPS (Global Positioning System) a geocentrikus WGS 84 (WGS: World Geodetic System) ellipszoidot használja.
A felszínformulák levezetése
Legyen az a nagytengelyű és b kistengelyű ellipszoid egyenlete.
Megnyúlt ellipszoid
Az első Guldin-szabállyal
Ez annak a forgástestnek a felszíne, ami az ellipszis x tengely körüli forgatásával keletkezik. Itt a generátorgörbe egyenlete , ami az ellipszoid egyenletét y-ra megoldva adódik.
Továbbá szükség van a jobb oldal x szerinti deriváltjára:
Behelyettesítve
Itt kihasználtuk az x tengely körüli forgásszimmetriát.
Az integrál határainak figyelembevételével
Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet.
Lapított ellipszoid
A számítások az előzőekhez hasonlók.
Most az ellipszoidot az y tengely körül forgatjuk meg.
Ismét az első Guldin-szabályt használjuk:
Az ellipszis egyenletét x-re megoldva
és behelyettesítve az és értékeket kapjuk a következőt:
ahol újra kihasználtuk az ellipszoid forgásszimmetriáját.
További helyettesítésekkel és átalakításokkal adódik
amit egyszerűsítve kapjuk a fenti képletet.