„Disztributivitás” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2009. április 26., 22:42-kori változata

A disztributivitás két matematikai műveletet összekapcsoló tulajdonság. Akkor mondjuk, hogy egy művelet (jelölje ⊕) disztributív egy másik (mondjuk ×-tel jelölt) műveletre nézve, ha minden elem esetén azonos végeredményre jutunk

akkor is, ha két elem × műveletének eredményén és egy harmadik elemen végrehajtjuk a ⊕ műveletet,
illetve akkor is, ha előbb a harmadik elemmel külön-külön össze-⊕-műveletezzük az első kettőt, majd a két eredményt össze-×-műveletezzük.

Ha a ⊕ művelet nem kommutatív, akkor megkülönböztethető bal oldali és jobb oldali disztributivitás. E jelzők elhagyása egyszerre mindkét oldali disztributivitásra utal.

Definíció

Legyen $(A;+,*)$ tetszőleges matematikai struktúra, ahol a $+$ és a $*$ kétváltozós művelet. Akkor mondjuk, hogy a $*$ művelet disztributív a $+$ műveletre nézve (illetve, hogy a $(A;+,*)$ struktúra disztributív), ha $A$ halmaz minden $a,b,c$ elemére teljesül, hogy

(a+b)*c=(a*c)+(b*c)\,

, és

a*(b+c)=(a*b)+(a*c)\,

.

Példák

A valós számokon értelmezett összeadás és szorzás esetében a szorzás disztributív az összeadásra (azonban az összeadás nem disztributív a szorzásra):

\forall a,b,c\in \mathbb {R} :\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c

Legyen $A,B,C$ három halmaz. A közöttük értelmezett egyesítés és metszetképzés kölcsönösen disztributív egymásra.

A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)

, illetve

A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)

.

Disztributív struktúrák

Lásd még

Hivatkozások

Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)
Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-A '''disztributivitás''' két matematikai [[művelet]] között fennálló tulajdonság. Akkor mondjuk, hogy egy művelet (jelöljük ezt ⊕-tel) disztributív egy másik (mondjuk ×-tel jelölt) műveletre nézve, ha azonos végeredményre jutunk akkor is ha egy × művelet végrehajtása után az így kapott eredménnyel hajtjuk végre a  ⊕ műveletet, illetve akkor is, ha még a × művelet végrehajtása előtt végrehajtjuk a ⊕ műveletet a × mindegyik tényezőjén, majd a × műveletet az eredeti tényezők helyett az így kapott elemeken hajtjuk végre.
+A '''disztributivitás''' két [[matematika]]i [[művelet]]et összekapcsoló tulajdonság. Akkor mondjuk, hogy egy művelet (jelölje ⊕) disztributív egy másik (mondjuk ×-tel jelölt) műveletre nézve, ha minden elem esetén azonos végeredményre jutunk
+* akkor is, ha két elem × műveletének eredményén és egy harmadik elemen végrehajtjuk a ⊕ műveletet,
+* illetve akkor is, ha előbb a harmadik elemmel külön-külön össze-⊕-műveletezzük az első kettőt, majd a két eredményt össze-×-műveletezzük.
-Amennyiben a műveletek [[kommutativitás]]a nem teljesül, akkor lehet csak ''baloldali'' vagy csak ''jobboldali'' disztributivitásról beszélni. E jelzők elhagyásával ilyenkor mindkét oldali disztributivitásra utalunk.
+Ha a ⊕ művelet nem [[kommutatív]], akkor megkülönböztethető ''bal oldali'' és ''jobb oldali'' disztributivitás. E jelzők elhagyása egyszerre mindkét oldali disztributivitásra utal.
 ==Definíció==
-Legyen <math>(A; +,\cdot )</math> tetszőleges [[matematikai struktúra|struktúra]], ahol <math>+,\cdot</math> kétváltozós [[művelet]]ek. Akkor mondjuk, hogy a <math>\cdot</math> művelet '''disztributív''' a <math>+</math> műveletre nézve (illetve, y a <math>(A; +,\cdot )</math> struktúra ''disztributív''), ha tetszőleges <math>a, b, c \in A</math> elemekre teljesül, hogy
+Legyen <math>(A; +, *)</math> tetszőleges [[matematikai struktúra]], ahol a <math>+</math> és a <math>*</math> kétváltozós [[művelet]].
+Akkor mondjuk, hogy a <math>*</math> művelet '''disztributív''' a <math>+</math> műveletre nézve (illetve, hogy a <math>(A; +, *)</math> struktúra ''disztributív''), ha <math>A</math> halmaz minden <math>a, b, c</math> elemére teljesül, hogy
-:<math>(a+b)\cdot c=(a\cdot c) + (b\cdot c)</math>, és
+:<math>(a+b) * c=(a * c) + (b * c)\,</math>, és
-:<math>c\cdot (a+b)=(c\cdot a) + (c\cdot b)</math>.
+:<math>a * (b+c)=(a * b) + (a * c)\,</math>.
 ==Példák==
-*A [[valós szám]]okon értelmezett szokásos összeadás és szorzás műveletek esetében a szorzás disztributív az összeadásra (azaz tetszőleges <math>a, b, c \in R</math> valós számokra <math>(a+b)\cdot c=(a\cdot c) + (b\cdot c)</math>), azonban az összeadás nem disztributív a szorzásra.
+*A [[valós szám]]okon értelmezett [[összeadás]] és [[szorzás]] esetében a szorzás disztributív az összeadásra (azonban az összeadás nem disztributív a szorzásra):
+:<math>\forall a,b,c \in \mathbb{R}:\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c + b\cdot c</math>
-*Az [[unió (halmazelmélet)|egyesítés]] és [[metszet (halmazelmélet)|metszetképzés]] bármely, [[halmaz]]okból álló alaphalmazon értelmezve kölcsönösen disztributívak egymásra, azaz <math>A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)</math>, illetve <math>A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)</math>. Ez asszociatív is.
+*Legyen <math>A, B, C</math> három halmaz. A közöttük értelmezett [[unió (halmazelmélet)|egyesítés]] és [[metszet (halmazelmélet)|metszetképzés]] kölcsönösen disztributív egymásra.
+:<math>A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)</math>, illetve
+:<math>A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)</math>.
 ==Disztributív struktúrák==
@@ 22. sor: / 29. sor: @@
 ==Hivatkozások==
-*Rédei, László, ''Algebra  I. kötet'', Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
+*Rédei László, ''Algebra  I. kötet'', Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)
-*Szendrei, Ágnes, ''Diszkrét matematika'', Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
+*Szendrei Ágnes, ''Diszkrét matematika'', Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
 [[Kategória:Absztrakt algebra]]