Muirhead-egyenlőtlenség

Az "a-közép"

Bármely valós vektor esetén

$a=(a_{1},\dots ,a_{n})$

az x₁,...,x_n számok "a-közepe" [a] a következő:

$[a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi }x_{\pi _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\pi _{n}}^{a_{n}},$

ahol az összeg az {1,...,n} számok minden π permutációjára kiterjed.

Az egyenlőtlenség

Két n-dimenziós vektort, a-t és b-t tekintve, az összeg szimmetriája miatt feltehető, hogy

$a_{1}\geq a_{2}\geq \dots \geq a_{n}$

$b_{1}\geq b_{2}\geq \dots \geq b_{n}.$

Minden x₁,...,x_n nemnegatív szám esetén, [a]≤[b] akkor és csak akkor, ha a következő állítások igazak:

$a_{1}\leq b_{1}$

$a_{1}+a_{2}\leq b_{1}+b_{2}$

$a_{1}+a_{2}+a_{3}\leq b_{1}+b_{2}+b_{3}$

$\qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots$

$a_{1}+\cdots +a_{n-1}\leq b_{1}+\cdots +b_{n-1}$

$a_{1}+\cdots +a_{n}=b_{1}+\cdots +b_{n}.$