Barabási–Albert-modell

A Barabási–Albert-modell a komplex hálózatok (gráfok) fejlődésének egy modellje, mely magyarázattal szolgál azok gyakori skálafüggetlen tulajdonságára, azaz arra, hogy a fokszámeloszlásuk gyakran negatív kitevőjű hatványfüggvény szerint cseng le. A modellt Barabási Albert László és tanítványa Albert Réka dolgozta ki 1999-ben, miután a webet, a hivatkozásokkal (linkekkel) mint irányítatlan élekkel vizsgálva skálafüggetlennek találták.

A növekedés lépései a Barabási–Albert-modell szerint. Itt csak az első lépés látható, a többi lépést az animált változat mutatja.

A modell

A modellben egy irányítatlan hálózatot hozunk létre.

Kezdetben van egy pontosabban nem definiált m₀ (legalább kettő) csomópontú hálózat, amelyben minden csúcshoz legalább egy él vezet.

Minden egyes lépésben egy újabb csúcsot adunk hozzá, melyet egy-egy éllel kapcsolunk m véletlenszerűen választott régi csúcshoz úgy, hogy a kiválasztás valószínűsége arányos a régi csúcsok pillanatnyi fokszámával. Azt, hogy a nagyobb fokszámú csúcs nagyobb eséllyel kap új élt, preferenciális kapcsolódásnak hívják.

Kiemelendő még egyszer a modell két fontos eleme, melyek egyike sem képes egyedül magyarázatot adni a skálafüggetlenségre:

1. Növekedés: A modell egy folyamatosan növekvő hálózatot hoz létre, szemben például az Erdős Pál és Rényi Alfréd által tanulmányozott véletlen gráfokkal, ahol „rögtön” az elején létezik az összes csúcs.
2. Preferenciális kapcsolódás: A folyamat során a nagyobb fokszámú csúcsok (amelyhez több él fut) nagyobb valószínűséggel kapnak új éleket. Ez segíti ahhoz a hálózatot, hogy néhány csomópontja rengeteg élt „begyűjthessen” ezzel csomóponttá válva. A legtöbb csúcsnak pedig csupán néhány kapcsolata (kis fokszáma) lesz.

A modellben keletkezett hálózat tulajdonságai

A fokszámeloszlás a Barabási–Albert-modellben hatványfüggvényt követ (negatív kitevővel). A hatványfüggvényt kétszer logaritmikus skálán ábrázolva egyenest kapunk.

Fokszámeloszlás

Sok lépés után, ha a csúcsok száma jóval nagyobb a kezdeti hálózaténál, a fokszámeloszlás fordítottan arányos a fokszám köbével (azaz a mínusz harmadik hatványával arányos), tehát hatványfüggvény eloszlást követ. A pontos formula szerint a hálózatban annak a valószínűsége, hogy a fokszám k

$P(k)={\frac {2m_{0}}{k^{3}}}$