Sík (geometria)

A sík a geometriában, azon belül tipikusan a háromdimenziós térgeometriában fontos fogalom.

Definíciója

Euklidész az Elemekben (az egyeneshez hasonlóan) előbb a felületet definiálja: Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van, és csak ezután határozza meg a síkot: Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik. Ma már a síkot is alapfogalomnak tekintjük a geometriában, tehát nem definiáljuk.

Jellemzése

Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:

• Kétdimenziós objektum, azaz két irányban végtelen, a harmadik irányban 0 a kiterjedése.
• Három nem kollineáris pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
• Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.

Sík megadása az analitikus geometriában

Egy sík egyenlete egy olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon. Legyen $(x_{0},y_{0},z_{0})$ a sík egy pontja és egy $(a,b,c)$ normálvektor. Ekkor a sík egyenlete:

$ax+by+cz=d$

ahol a d konstans a következőképpen adódik:

$d=ax_{0}+by_{0}+cz_{0}$

A sík egyenlete a skaláris szorzat fogalmát felhasználva is megfogalmazható:

$\langle {\mathbf {(} x,y,z)},{\mathbf {(} a,b,c)}\rangle =d$

Lásd még

• Hilbert-féle axiómarendszer
• Koordinátageometria