„Párhuzamosság” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tulajdonságai: párhuzamossági axióma |
párhuzamos nyaláb, távolságvonal |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
Az [[euklideszi geometria|euklideszi geometriában]] két egyenes '''párhuzamos''', ha egysíkúak, és nem metszik egymást. Emellett az egyeneseket párhuzamosnak tekintik önmagukkal, hogy a párhuzamosság [[ekvivalenciareláció]] legyen. A [[hiperbolikus geometria|hiperbolikus geometriában]] irányított egyenesek párhuzamosságáról beszélnek. Azok az irányított egyenesek párhuzamosak, amelyek elválasztják a metsző és a nem metsző irányított egyeneseket. |
Az [[euklideszi geometria|euklideszi geometriában]] két egyenes '''párhuzamos''', ha egysíkúak, és nem metszik egymást. Emellett az egyeneseket párhuzamosnak tekintik önmagukkal, hogy a párhuzamosság [[ekvivalenciareláció]] legyen. A [[hiperbolikus geometria|hiperbolikus geometriában]] irányított egyenesek párhuzamosságáról beszélnek. Azok az irányított egyenesek párhuzamosak, amelyek elválasztják a metsző és a nem metsző irányított egyeneseket. A szóhasználat nem egységes. Ezeket az egyeneseket hívják elpattanónak, vagy az összes nem metszőt párhuzamosnak. |
||
Gyakran mondják, hogy „a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást”. Ez [[affin geometria|affin]] szemléletre utal, azaz arra, hogy minden egyenest egy-egy végtelen távoli ponttal bővítettük, és hogy az egy párhuzamos nyalábba tartozó egyenesek végtelen távoli pontja közös. Ha nem teszünk különbséget végtelen távoli és közönséges pontok között, akkor a [[projektív geometria|projektív geometriához]] jutunk, ahol már nincsenek párhuzamosok. |
Gyakran mondják, hogy „a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást”. Ez [[affin geometria|affin]] szemléletre utal, azaz arra, hogy minden egyenest egy-egy végtelen távoli ponttal bővítettük, és hogy az egy párhuzamos nyalábba tartozó egyenesek végtelen távoli pontja közös. Ha nem teszünk különbséget végtelen távoli és közönséges pontok között, akkor a [[projektív geometria|projektív geometriához]] jutunk, ahol már nincsenek párhuzamosok. |
||
15. sor: | 15. sor: | ||
Az euklideszi és az affin síkgeometriában teljesül: |
Az euklideszi és az affin síkgeometriában teljesül: |
||
'''Adott egyeneshez adott ponton át egy, az adott egyenest nem metsző egyenes húzható.''' |
'''Adott egyeneshez adott ponton át egy, az adott egyenest (közönséges pontban) nem metsző egyenes húzható.''' |
||
Ez a kijelentés az euklideszi geometria [[párhuzamossági axióma|párhuzamossági axiómája]], ami szükséges az euklideszi geometria felépítéséhez. Elhagyásával az abszolút geometriát kapjuk, ami az euklideszi és a hiperbolikus geometria közös általánosítása. A hiperbolikus geometriában a hiperbolikus axióma helyettesíti: |
Ez a kijelentés az euklideszi geometria [[párhuzamossági axióma|párhuzamossági axiómája]], ami szükséges az euklideszi geometria felépítéséhez. Elhagyásával az [[abszolút geometria|abszolút geometriát]] kapjuk, ami az euklideszi és a hiperbolikus geometria közös általánosítása. A hiperbolikus geometriában a hiperbolikus axióma helyettesíti: |
||
'''Adott egyeneshez adott ponton át |
'''Adott egyeneshez adott ponton át több, az adott egyenest nem metsző egyenes húzható.''' |
||
Az analitikus geometriában az euklideszi párhuzamossági axióma bizonyítható. Tehát ez a geometria az euklideszi geometriát modellezi. |
Az analitikus geometriában az euklideszi párhuzamossági axióma bizonyítható. Tehát ez a geometria az euklideszi geometriát modellezi. |
||
Tetszőleges dimenziós euklideszi, affin és hiperbolikus terekben az egyenesek párhuzamossága ekvivalenciareláció. Ennek osztályai a párhuzamos nyalábok, amelyek speciális sugársorok. |
|||
Tetszőleges dimenziójú euklideszi geometriában bármely párhuzamos egyenespár távolsága állandó, azaz akárhol metsszük el őket egy rájuk merőleges egyenessel, a párhuzamos egyenespár mindig ugyanolyan hosszú szakaszt metsz ki belőle. A hiperbolikus geometriákban ez csak akkor igaz, ha a két egyenes egybeesik. |
|||
[[Kategória:Geometria]] |
[[Kategória:Geometria]] |
A lap 2012. június 27., 18:24-kori változata
Az euklideszi geometriában két egyenes párhuzamos, ha egysíkúak, és nem metszik egymást. Emellett az egyeneseket párhuzamosnak tekintik önmagukkal, hogy a párhuzamosság ekvivalenciareláció legyen. A hiperbolikus geometriában irányított egyenesek párhuzamosságáról beszélnek. Azok az irányított egyenesek párhuzamosak, amelyek elválasztják a metsző és a nem metsző irányított egyeneseket. A szóhasználat nem egységes. Ezeket az egyeneseket hívják elpattanónak, vagy az összes nem metszőt párhuzamosnak.
Gyakran mondják, hogy „a párhuzamosok a végtelenben metszik egymást”. Ez affin szemléletre utal, azaz arra, hogy minden egyenest egy-egy végtelen távoli ponttal bővítettük, és hogy az egy párhuzamos nyalábba tartozó egyenesek végtelen távoli pontja közös. Ha nem teszünk különbséget végtelen távoli és közönséges pontok között, akkor a projektív geometriához jutunk, ahol már nincsenek párhuzamosok.
A három dimenziós euklideszi térben teljesülnek a következők:
- Két egyenes kitérő, ha nincsenek egy síkban.
- Egyenes és sík párhuzamos, ha nem metszik egymást, vagy a sík tartalmazza az egyenest.
- Két sík párhuzamos, ha nem metszik egymást, vagy egybeesnek.
Magasabb dimenziós terekben más alterek párhuzamossága is értelmezve van. A hiperbolikus, az affin és a projektív geometriában is hasonlók teljesülnek.
Vektorterekben két egyenes párhuzamos, ha irányvektoraik lineárisan összefüggnek.
Tulajdonságai
Az euklideszi és az affin síkgeometriában teljesül:
Adott egyeneshez adott ponton át egy, az adott egyenest (közönséges pontban) nem metsző egyenes húzható.
Ez a kijelentés az euklideszi geometria párhuzamossági axiómája, ami szükséges az euklideszi geometria felépítéséhez. Elhagyásával az abszolút geometriát kapjuk, ami az euklideszi és a hiperbolikus geometria közös általánosítása. A hiperbolikus geometriában a hiperbolikus axióma helyettesíti:
Adott egyeneshez adott ponton át több, az adott egyenest nem metsző egyenes húzható.
Az analitikus geometriában az euklideszi párhuzamossági axióma bizonyítható. Tehát ez a geometria az euklideszi geometriát modellezi.
Tetszőleges dimenziós euklideszi, affin és hiperbolikus terekben az egyenesek párhuzamossága ekvivalenciareláció. Ennek osztályai a párhuzamos nyalábok, amelyek speciális sugársorok.
Tetszőleges dimenziójú euklideszi geometriában bármely párhuzamos egyenespár távolsága állandó, azaz akárhol metsszük el őket egy rájuk merőleges egyenessel, a párhuzamos egyenespár mindig ugyanolyan hosszú szakaszt metsz ki belőle. A hiperbolikus geometriákban ez csak akkor igaz, ha a két egyenes egybeesik.