„Catalan-sejtés” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a Bot: következő hozzáadása: cs:Katalánský teorém |
a Bot: következő módosítása: cs:Catalanova věta |
||
16. sor: | 16. sor: | ||
[[en:Catalan's conjecture]] |
[[en:Catalan's conjecture]] |
||
[[cs: |
[[cs:Catalanova věta]] |
||
[[de:Catalansche Vermutung]] |
[[de:Catalansche Vermutung]] |
||
[[es:Conjetura de Catalan]] |
[[es:Conjetura de Catalan]] |
A lap 2010. szeptember 8., 04:00-kori változata
A Catalan-sejtés a számelmélet egyszerűen megfogalmazható sejtése, amelyet belga Eugène Charles Catalan fogalmazott meg 1844-ben. A sejtés szerint a 8= 23 és 9 = 32 az egyetlen példa közvetlen egymásutáni teljes hatványokra.
Másképpen a Catalan-sejtés azt állítja, hogy az
- xa ‒ yb = 1
egyenlet egyetlen megoldása x,a,y,b > 1 egész számok esetén:
- 32 ‒ 23 = 1
Ez az egyik klasszikus példa úgynevezett exponenciális diofantoszi egyenletre. Könnyen látható, hogy elég azt az esetet belátni, amikor a, b prímszámok. C. L. Siegel egy 1929-es tételéből következik, hogy rögzített a, b esetén csak véges sok megoldás van. Robert Tijdeman 1976-ban, felhasználva Alan Baker logaritmusok lineáris kombinációira adott elméletét, bebizonyította, hogy összesen is csak véges sok ilyen számpár van. Végül Preda Mihǎilescu 2002-ben bebizonyította Catalan sejtését, tehát az mostmár sejtésből tétellé vált.
Külső hivatkozások
- http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html
- P. Mihailescu: Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s conjecture, Crelle's Journal, 572(2004), 167–195. http://www.degruyter.de/journals/crelle/2004/572_167.html