„Fixpont” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a →Példák: szó |
→Fixpontokkal kapcsolatos nevezetes tételek: a fontosabb fixponttételek |
||
18. sor: | 18. sor: | ||
== Fixpontokkal kapcsolatos nevezetes tételek == |
== Fixpontokkal kapcsolatos nevezetes tételek == |
||
[[ |
*[[Brouwer fixpont-tétele]] azt mondja ki, hogy <math>\mathbb R^n</math>-ben a zárt egységgömb minden önmagára vett [[folytonos függvény|folytonos leképezésének]] van fixpontja. |
||
*Schauder fixponttétele szerint minden olyan leképezésnek van fixpontja, ami egy véges dimenziós Banach-tér kompakt, konvex részhalmazát önmagába képezi. |
|||
*A Banach-fixponttétel azt állítja, hogy egy teljes metrikus tér kontrakciójának, távolságot nem növelő leképezésének van fixpontja. |
|||
A fixpontiteráció: |
|||
<math>x_{n+1}=f(x_n)</math> |
|||
a Banach-fixponttételen alapul. |
|||
*Minden olyan hasonlóságnak, ami nem egybevágóság, van fixpontja. |
|||
{{csonk-matematika}} |
{{csonk-matematika}} |
A lap 2010. július 27., 15:51-kori változata
A matematikában egy leképezés fixpontjának nevezünk egy olyan pontot, amelyet a leképezés helyben hagy. Egy leképezésnek lehet nulla, egy, véges sok, vagy végtelen sok fixpontja. Ha egy leképezés értelmezési tartományának minden pontja fixpont, akkor a leképezést identikus leképezésnek, vagy identitásnak hívjuk.
Definíció
Legyen egy leképezés, és legyen . Azt mondjuk, hogy fixpontja -nek, ha .
Példák
- A sík egy e egyenesre való tükrözésének fixpontja e valamennyi pontja.
- A sík egy nullától különböző v vektorral való eltolásának nincs fixpontja.
- A valós számokon értelmezett függvénynek fixpontja a 0 és az 1, hiszen és .
- Jelölje D a végtelenszer differenciálható valós-valós függvények halmazán értelmezett differenciáloperátort, amely minden függvényt a deriváltjára képez le. Akkor D-nek fixpontja az függvény.
Fixpontokkal kapcsolatos nevezetes tételek
- Brouwer fixpont-tétele azt mondja ki, hogy -ben a zárt egységgömb minden önmagára vett folytonos leképezésének van fixpontja.
- Schauder fixponttétele szerint minden olyan leképezésnek van fixpontja, ami egy véges dimenziós Banach-tér kompakt, konvex részhalmazát önmagába képezi.
- A Banach-fixponttétel azt állítja, hogy egy teljes metrikus tér kontrakciójának, távolságot nem növelő leképezésének van fixpontja.
A fixpontiteráció:
a Banach-fixponttételen alapul.
- Minden olyan hasonlóságnak, ami nem egybevágóság, van fixpontja.